BZOJ1925:[SDOI2010]地精部落

Description

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。

Input

仅含一行，两个正整数 N, P。

Output

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

Sample Input

4 7

Sample Output

3

HINT

对于 20%的数据，满足 N≤10； 
对于 40%的数据，满足 N≤18； 
对于 70%的数据，满足 N≤550； 
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤109

 

题解：

易证符合条件长度为n的山脉，开头为峰与开头为谷的种数是相同的。这样，我们可以取F[n]的一半来表示某端点为山峰或山谷的方案数。

在求F[n]时，可以考虑在长度为n-1的山脉中插入高度为n的山峰，枚举插入的位置，则两边离散化后都变成了子问题，可以进行动态规划。因为两边的组成有多种情况，乘上一个组合数即可。

使用杨辉三角求组合数。注意内存限制，需使用滚动数组。

代码：

var
  i,j,k,l,n,m,p:longint;
  a:array[0..4201]of int64;
  c:array[1..2,0..4201]of longint;
begin
  readln(n,p);
  c[1,1]:=1; c[1,0]:=1;
  a[1]:=1; a[0]:=1;
  for i:=2 to n do
  begin
    for j:=1 to i do
    if j mod 2=1 then
    a[i]:=(a[i]+(a[j-1]*c[1,j-1]mod p)*a[i-j])mod p;
    c[2,0]:=1; c[2,i]:=1;
    for j:=1 to i-1 do
    c[2,j]:=(c[1,j]+c[1,j-1])mod p;
    for j:=1 to i do c[1,j]:=c[2,j];
  end;
  writeln(a[n]*2 mod p);
end.