BZOJ2734:[HNOI2012]集合选数

Description

《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以 下条件的子集：若 x 在该子集中，则 2x 和 3x 不能在该子集中。同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 n≤100000，如何求出{1, 2,..., n} 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 1,000,000,001 取模的结果），现在这个问题就 交给你了。 

Input

 只有一行，其中有一个正整数 n，30%的数据满足 n≤20。 

Output

 仅包含一个正整数，表示{1, 2,..., n}有多少个满足上述约束条件 的子集。 

Sample Input

4

Sample Output

8
【样例解释】
有8 个集合满足要求，分别是空集，{1}，{1，4}，{2}，{2，3}，{3}，{3，4}，{4}。

 

题解：

设x为一个不含2与3因子的数，则可以构造出一个这样的矩阵：

x	x*3	x*3^2	x*3^3	.	.	.
2*x	2*x*3	2*x*3^2	2*x*3^3	.	.	.
2^2*x	2^2*x*3	2^2*x*3^2	2^2*x*3^3	.	.	.
2^3*x	2^3*x*3	2^3*x*3^2	2^3*x*3^3	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例如x=1时：

1	3	9	27	.	.	.
2	6	18	54	.	.	.
4	12	36	108	.	.	.
8	24	72	216	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

如此一来，不能同时取的数对在矩阵中一定是左右或是上下相邻的。因为n<=1000000，所以矩阵最多有11列，可以将每一行进行状态压缩DP。

每个数一定且只存在于一个矩阵之中，两个矩阵之间没有关联，所以DP出每个矩阵的可行方案数，最后相乘就可以了。

 

代码：

const
  mo=1000000001;
var
  i,j,k,l,n,m:longint;
  a:array[0..20,0..20]of longint;
  b:array[0..20]of longint;
  f:array[0..20,0..2048]of longint;
  bo:array[0..100005]of longint;
  bin:array[0..20]of longint;
  ans:int64;
function qq(x:longint):longint;
var i,j,y:longint;
begin
  fillchar(b,sizeof(b),0);
  a[1,1]:=x;
  for i:=2 to 18 do
  if a[i-1,1]*2<=n then a[i,1]:=a[i-1,1]*2 else a[i,1]:=n+1;
  for i:=1 to 18 do
  for j:=2 to 11 do
  if a[i,j-1]*3<=n then a[i,j]:=a[i,j-1]*3 else a[i,j]:=n+1;
  for i:=1 to 18 do
  for j:=1 to 11 do
  if a[i,j]<=n then
  begin
    b[i]:=b[i]+bin[j-1];
    bo[a[i,j]]:=1;
  end;
  for i:=0 to 18 do
  for j:=0 to b[i] do f[i,j]:=0;
  f[0,0]:=1;
  for i:=0 to 17 do
  for j:=0 to b[i] do
  if f[i,j]>0 then
  for y:=0 to b[i+1] do
  if(j and y=0)and(y and(y shr 1)=0)then f[i+1,y]:=(f[i+1,y]+f[i,j])mod mo;
  exit(f[18,0]);
end;
begin
  bin[0]:=1;
  for i:=1 to 20 do bin[i]:=bin[i-1]shl 1;
  readln(n); ans:=1;
  for i:=1 to n do
  if bo[i]=0 then ans:=(ans*qq(i))mod mo;
  writeln(ans);
end.