BZOJ2784:[JLOI2012]时间流逝

Description

生活可以很简单。可以探索水底世界的神秘，也可以去发现奇特新生物，亦或踏上一段新生的旅程。在必须要迎接挑战或跟周围的生物进行生存争夺之前，享受自由的飞翔。此时你会觉得生活是如此美好。

像蛇喜欢吃浮游生物一样（哦，我好像忘记告诉你这个常识），每天，你可以吃一些你周围的基础生物，然后会在你的尾巴上得到一个能量圈。你将会有好多种不同的能量圈，每一个都会被赋予一个能量。你可以拥有多个同种的能量圈，但是对于新得到的相同的能量圈，它的能量不能大于你已拥有的任何一个能量圈。除了前面的规则，获得新的能量圈的种类的概率是一样的。一天天过去，你得到越来越多的能量，开始了进化演变。

但是你也有自己的问题，有时你会面对邪恶的果冻鱼。它会追着你咬你，你不得不扔出最小能量值的能量圈然后赶忙逃跑。在这种情况下，你不会有任何的胃口了，因此这天你将不再得到任何能量圈。幸好，当你没有任何能量圈的时候，果冻鱼就算看见你也不会追着你，此时你可以好好地享用美食。

你听说当你的总的能量值超过了某个阈值之后，可以进化成强大模式并能够吃掉果冻鱼。是时候反击了！下面是本题的问题：预计要过多少天你才能进化成强大模式？（第一天默认你没有任何能量圈）

Input

输入包含多个测例。对每个测例会有两行。第一行是一个浮点数P，一个整数T和一个整数N。P是每天遇到果冻鱼的概率，T是阈值。第二行是N个不同的正整数，表示每一种能量圈的能量值。

Output

对于每个测例，输出一行表示预计要过多少天你的能量值能够超过阈值，四舍五入到三位小数。

Sample Input

0.5 0 1
1
0.5 1 2
1 2

Sample Output

1.000
2.000

HINT

对于所有数据，0.1≤P≤0.9，1≤T≤50，1≤N≤30。

题解：

概率DP题，我想了好久以后开始写，调了好几个小时都没有写对。

直到我看了czt的代码，我在发现我原本推出的状态转移方式是错误的。

正确的DP方式：

用[i,j]记录已经筹集了i的能量，且拥有的最小能量圈为j，让其发展下去，直到筹集t以上的能量或失去j能量圈为止的情况。

用f[i,j,1]记录有多大的几率在能量满之前会失去j能量圈，用f[i,j,2]记录能量满或失去j的期望天数。

初始状态：f[i,j,1]=0，f[i,j,2]=0。（i>=t） 假设[i,j]时获得了一个k的能量圈(k<=j)，则f[i,j]可以通过f[i+k,k]转移而来。

设x[k]为当前获得k的概率。

原地踏步（即获得k后进入[i+k,k]状态却失去k）的概率p1为∑(f[i+k,k,1]*x[k])。

没有原地踏步的概率p2为1-p1。

从[i,j]开始，直到第一次因为失去k而回到[i,j]或者能量满的 概率*期望步数 之和tot为∑((f[i+k,k,2]+1)*x[k])。

推一推公式，可得f[i,j,1]=p/p2，f[i,j,2]=(tot/p2)+f[i,j,1]*1。

对于没有能量圈的状态（即答案），不会遇到鱼，转移方式与上面的略有不同，但大致是一样的。

代码：

var
  i,j,k,l,n,m,t:longint;
  p1,p2:extended;
  b:array[0..1000,0..100,1..2]of extended;
  lb,qz:array[0..100]of longint;
  ans:extended;
begin
  while not eof do
  begin
    fillchar(lb,sizeof(lb),0);
    fillchar(qz,sizeof(qz),0);
    fillchar(b,sizeof(b),0);
    readln(p1,t,n); inc(t); p1:=1-p1;
    for i:=1 to n do begin read(j); inc(lb[j]); end; readln;
    for i:=1 to 100 do qz[i]:=qz[i-1]+lb[i];
    for i:=t-1 downto 1 do
    for j:=1 to 100 do
    if lb[j]>0 then
    begin
      p2:=1;
      for k:=1 to j do
      if lb[k]>0 then
      begin
        if i+k<t then
        begin
          p2:=p2-p1*(lb[k]/qz[j])*b[i+k,k,1];
          b[i,j,2]:=b[i,j,2]+p1*(lb[k]/qz[j])*(1+b[i+k,k,2]);
        end else b[i,j,2]:=b[i,j,2]+p1*(lb[k]/qz[j]);
      end;
      b[i,j,1]:=(1-p1)/p2; b[i,j,2]:=b[i,j,2]/p2;
      b[i,j,2]:=b[i,j,2]+b[i,j,1];
    end;
    p2:=1; ans:=0;
    for k:=1 to 100 do
    if lb[k]>0 then
    begin
      if k<t then
      begin
        p2:=p2-(lb[k]/n)*b[k,k,1];
        ans:=ans+(lb[k]/n)*(1+b[k,k,2]);
      end else ans:=ans+lb[k]/n;
    end;
    writeln((ans/p2):0:3);
  end;
end.