关于LCA的倍增解法的笔记

　　emmmmm近日刚刚学习了LCA的倍增做法，写一篇BLOG来加强一下印象w

　　首先 何为LCA？ 

　　LCA“光辉”是印度斯坦航空公司(HAL)为满足印度空军需要研制的单座单发轻型全天候超音速战斗攻击机，主要任务是...

　　LCA（Least Common Ancestors），即最近公共祖先，是指在有根树中，找出某两个结点u和v最近的公共祖先。

　　怎么样，很好理解吧！

　　然后，关于倍增

　　emmmmm，可以这么理解：

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　　https://blog.csdn.net/jarjingx/article/details/8180560（太烂啦有空再自己填一下这个坑吧x

　　怎么样，很好理解吧！

　　（懒癌患者是这样的orz，对不住各位观众老爷&&神犇啦

　　那么！

　　怎么把他们结合在一起就是我们要研究的问题啦。

　　相信大家第一次看到形似“给出一棵树和若干结点，求他们的LCA”这种问题就会想到爆搜吧（单次最坏和平均时间复杂度都是O(n)）

　　但是显而易见，万恶机智的出题人是不会放我们这么简单的做法过哒

　　这时候我们就需要在原来的爆搜上加上倍增优化一下时间复杂度（优化之后是O(nlogn)）

　　我们给这种神秘地操作叫做 树上倍增

　　总而言之就是

　　用一个二维数组fa[i][j]来表示从第i个结点向上跳 2 ^ j 个结点所在的点，那么理所当然的fa[i][0]表示的就是i点的父结点啦

　　

int lca(int x, int y) {
    if (dep[x] > dep[y]) {
        swap(x, y);  //交换x点和y点，让x点在y点上♂面（噫
    }
    for (int i = 20; i >= 0; i--) { 
        if (dep[y] - (1 << i) >= dep[x]) {
            y = fa[y][i];     //把y点调整到和x点一个高度
        }
    }
    if(x == y) {
        return x;   //这里是特判哦，如果调整后x点和y点一样直接返回x就行啦
    }
    for(int i = 20; i >= 0; i--) {
        if(fa[x][i] == fa[y][i]) {
            continue;  //如果他们的父亲向上跳2 ^ i个点后是同一个点的话就找到他们的LCA啦
        }
        else {
            x = fa[x][i]; 
            y = fa[y][i];  //要雨♂露♂均♂沾，一起向上跳喏
        }
    }
    return fa[x][0]; 返回LCAqwqqq
}

　　以上就是倍增LCA的核心算法啦

　　然而要知道的是，现在有许多万恶机智的出题人是会卡我们的倍增哒

　　所以我们就需要

　　优化优化优化！

　　因为涉及到图，我们就可以用一种叫派大星链式前向星的东西来优化它（如果你不知道链式前向星可以看看这个：

　　 下面以洛谷的模板题为例，贴一下自己的代码（感谢kkogoro带我“走进LCA”wwww

　　

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int Maxv = 500001; 

int fa[Maxv * 2][21], head[Maxv], dep[Maxv]; 
int cnt, n, m, s;

struct edges {
    int v, next; 
}edge[Maxv * 2];

void add(int x, int y){
    edge[cnt].v = y; 
    edge[cnt].next = head[x]; 
    head[x] = cnt++;
}

void dfs(int u, int father){
    dep[u] = dep[father] + 1; 
    fa[u][0] = father; 
    for (int i = 1; (1 << i) <= dep[u]; i++) {
        fa[u][i] = fa[fa[u][i - 1]][i - 1]; 
    }
    for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next) {
        int v = edge[i].v;
        if (v != father) {
            dfs(v, u);
        }
    }
}

int lca(int x, int y) {
    if (dep[x] > dep[y]) {
        swap(x, y);
    }
    for (int i = 20; i >= 0; i--) {
        if (dep[y] - (1 << i) >= dep[x]) {
            y = fa[y][i]; 
        }
    }
    if(x == y) {
        return x; 
    }
    for(int i = 20; i >= 0; i--) {
        if(fa[x][i] == fa[y][i]) {
            continue; 
        }
        else {
            x = fa[x][i]; 
            y = fa[y][i]; 
        }
    }
    return fa[x][0]; 
}

int main(){
    int a, b; 
    memset(head, -1, sizeof(head));
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &s); 
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        scanf("%d %d", &a, &b);
        add(a, b);
        add(b, a);
    }
    dfs(s, 0); 
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d %d", &a, &b);
        printf("%d
", lca(a, b));
    }
    return 0; 
}

　　怎么样

　　很好理解吧www