BZOJ4654 NOI2016国王饮水记（动态规划+三分）

　　有很多比较显然的性质。首先每个城市（除1外）至多被连通一次，否则没有意义。其次将城市按水位从大到小排序后，用以连通的城市集合是一段前缀，并且不应存在比1城市还小的。然后如果确定了选取的城市集合，每次选择也应该是连续的一段，且应从小到大选，这样保证了将其他城市的水尽量分到1，而不是被另外的城市分流。同时也说明如果不考虑次数限制应该划分的尽量多。

　　考虑怎么用这些性质做。按水位从小到大排序，考虑大力dp，即设f[i][j]为前i个城市（可以不全选）分了j组时的答案，转移即f[i][j]=max{(f[k][j-1]+s_i-s_k)/(i-k+1)}。转移显然可以看做是找该点与其他点的斜率最大值，可以在下凸壳上三分。于是可以得到一个O(nkplogn)的优秀算法。

　　感觉上这个高精度的保留位数实在有点唬人，哪来那么大误差啊？于是考虑直接用long double，记录转移点，最后再用高精度计算答案。直接从复杂度里去掉了一个p，效果拔群。获得了82分的好成绩，3T1WA。又瞎猜了一发答案随分组数量变化是个凸函数，搞了个wqs二分上去，非常惨的假掉了。然后突然发现之前的82分代码算斜率甚至忘了return，加上之后获得了94分的好成绩，get了两个WA。再冷静一下发现之前因为空间不够把数组开小了，改成滚动之后又过掉最后一个点，获得了97分的好成绩。然后想起来没有把<h₁的去掉因为感觉没有必要，去掉之后，就过了。

　　就这么水过算了我不管了反正正解那种结论怎么猜的到啊。

//以下代码删除了高精度类
#include<iostream> 
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include <string>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define N 8010
char getc(){char c=getchar();while ((c<'A'||c>'Z')&&(c<'a'||c>'z')&&(c<'0'||c>'9')) c=getchar();return c;}
int gcd(int n,int m){return m==0?n:gcd(m,n%m);}
int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
int n,m,p,a[N],b[N],from[N][N],q[N],h;
long double f[2][N];
Decimal calc(int m,int n)
{
    if (m==0) return Decimal(h);
    return (calc(m-1,from[m][n])+a[n]-a[from[m][n]])/(n-from[m][n]+1);
}
long double slope(int j,int x,int y){return ((a[y]-f[j][y])-(a[x]-f[j][x]))/(y-x);}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("bzoj4654.in","r",stdin);
    freopen("bzoj4654.out","w",stdout);
    const char LL[]="%I64d
";
#else
    const char LL[]="%lld
";
#endif
    n=read(),m=read(),p=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();h=a[1];
    int t=0;for (int i=1;i<=n;i++) if (a[i]>h) b[++t]=a[i];
    sort(b+1,b+t+1);n=t;for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=b[i];
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i]+=a[i-1];
    for (int i=0;i<=n;i++) f[0][i]=h;
    for (int j=1;j<=min(n,m);j++)
    {
        int tail=0;memset(f[j&1],0,sizeof(f[j&1]));
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            while (tail>1&&slope(j&1^1,q[tail-1],q[tail])>slope(j&1^1,q[tail],i-1)) tail--;
            q[++tail]=i-1;
            int l=1,r=tail;
            while (l+3<r)
            {
                int mid1=(l+r>>1)-1,mid2=(l+r>>1)+1;
                if ((f[j&1^1][q[mid1]]+a[i]-a[q[mid1]])*(i-q[mid2]+1)<(f[j&1^1][q[mid2]]+a[i]-a[q[mid2]])*(i-q[mid1]+1)) l=mid1;else r=mid2;
            }
            for (int k=l;k<=r;k++)
            if (f[j&1^1][q[k]]+a[i]-a[q[k]]>f[j&1][i]*(i-q[k]+1)) f[j&1][i]=(f[j&1^1][q[k]]+a[i]-a[q[k]])/(i-q[k]+1),from[j][i]=q[k];
        }
    }
    cout<<calc(min(n,m),n).to_string(p+1);
    return 0;
}