题目：定义Fibonacci数列如下：
/ 0 n=0
f(n)= 1 n=1
/ f(n-1)+f(n-2) n=2
输入n，用最快的方法求该数列的第n项。
分析：在很多C语言教科书中讲到递归函数的时候，都会用Fibonacci作为例子。
因此很多程序员对这道题的递归解法非常熟悉，但....呵呵，你知道的。。
这个一种O(n)复杂度的就是
int a=0,b=1,c;
for(int i=2;i<=n;i++){
c=a+b;
a=b;
b=c;
}
printf c;
另外一个更牛的
这还不是最快的方法。下面介绍一种时间复杂度是O(logn)的方法。在介绍这种方法之前，先介绍一个数学公式：
{f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2)} ={1, 1, 1,0}n-1
(注：{f(n+1), f(n), f(n), f(n-1)}表示一个矩阵。在矩阵中第一行第一列是f(n+1)，第一行第二列是f(n)，第二行第一列是f(n)，第二行第二列是f(n-1)。)
有了这个公式，要求得f(n)，我们只需要求得矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方，因为矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方的结果的第一行第一列就是f(n)。这个数学公式用数学归纳法不难证明。感兴趣的朋友不妨自己证明一下。
现在的问题转换为求矩阵{1, 1, 1, 0}的乘方。如果简单第从0开始循环，n次方将需要n次运算，并不比前面的方法要快。但我们可以考虑乘方的如下性质：
/ an/2*an/2 n为偶数时
an=
/ a(n-1)/2*a(n-1)/2 n为奇数时
要求得n次方，我们先求得n/2次方，再把n/2的结果平方一下。如果把求n次方的问题看成一个大问题，把求n/2看成一个较小的问题。这种把大问题分解成一个或多个小问题的思路我们称之为分治法。这样求n次方就只需要logn次运算了。
实现这种方式时，首先需要定义一个2×2的矩阵，并且定义好矩阵的乘法以及乘方运算。当这些运算定义好了之后，剩下的事情就变得非常简单。完整的实现代码如下所示。
#include <cassert>
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// A 2 by 2 matrix
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
struct Matrix2By2
{
Matrix2By2
(
long long m00 = 0,
long long m01 = 0,
long long m10 = 0,
long long m11 = 0
)
:m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11)
{
}
long long m_00;
long long m_01;
long long m_10;
long long m_11;
};
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Multiply two matrices
// Input: matrix1 - the first matrix
// matrix2 - the second matrix
//Output: the production of two matrices
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
Matrix2By2 MatrixMultiply
(
const Matrix2By2& matrix1,
const Matrix2By2& matrix2
)
{
return Matrix2By2(
matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);
}
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// The nth power of matrix
// 1 1
// 1 0
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
{
assert(n > 0);
Matrix2By2 matrix;
if(n == 1)
{
matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
}
else if(n % 2 == 0)
{
matrix = MatrixPower(n / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
}
else if(n % 2 == 1)
{
matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
}
return matrix;
}
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Calculate the nth item of Fibonacci Series using devide and conquer
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n)
{
int result[2] = {0, 1};
if(n < 2)
return result[n];
Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
return PowerNMinus2.m_00;
}
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1.排列组合
有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?
这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……
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类似的，一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？
答案是(1/√5)*{[(1+√5)/2]^（10+2） - [(1-√5)/2]^（10+2）}=144种。
2.数列中相邻两项的前项比后项的极限
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这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+√5)/2，这个就是黄金分割的数值，也是代表大自然的和谐的一个数字。
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斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对
两个月后，生下一对小兔民数共有两对
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对
－－－－－－
依次类推可以列出下表：
| 经过月数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 幼仔对数 | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 |
| 成兔对数 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 |
| 总体对数 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 |
幼仔对数=前月成兔对数
成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数
总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数
可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为：an=（1/√5）*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3.....）