二叉树的几个重要性质、抽象数据类型定义、存储结构

　　二叉树T：一个有穷的结点集合。 这个集合可以为空 若不为空，则它是由根结点和称为其左子树TL和右子树TR的 两个不相交的二叉树组成。

　　二叉树五种基本形态：空树，只有根结点，右子树为空，左子树为空，左右子树均不为空树。

一、二叉树的几个重要性质

　　1、设二叉树的根结点为第一层，二叉树第i层的最大结点数是2^i-1，i>=1；设二叉树的根结点深度为1，深度为k的二叉树，最大结点总数为2^k-1，k>=1

（关于树的层、深度，上面是浙大数据结构的说法，也有定义根结点的层数为0，深度为0，从上向下增长；叶结点高度为0，从下向上增长。）

　　2、对于任何非空二叉树，叶子结点的个数，等于度为2的非叶子结点的个数+1，即n0 = n2 + 1

　　3、满二叉树（full binary trees），在树中，每个中间结点有且仅有两个孩子结点。

　　4、完全二叉树（complete binary trees），具有n个结点的完全二叉树的深度为log₂n + 1

　　若对n个结点的完全二叉树从上到下且从左到右进行1至n编号，则对完全二叉树中任意一个编号为i的结点：

　　　　1、）若i = 1，则该结点是二叉树的根，无双亲结点，否则 i/2 的结点为其双亲结点；

　　　　2、）若2i<=n，则，编号为2i的结点为其左孩子结点，否则，该结点无左孩子结点；

　　　　3、）若2i+1<=n，则，编号为2i+1的结点为其右孩子结点，否则，该结点无右孩子结点；

二、二叉树的抽象数据类型定义

　　类型名称：二叉树

　　数据对象集：一个有穷的结点集合。 若不为空，则由根结点和其左、右二叉子树组成。

　　操作集： BT ∈ BinTree, Item ∈ ElementType，重要操作有：

　　1、Boolean IsEmpty( BinTree BT )： 判别BT是否为空；

　　2、void Traversal( BinTree BT )：遍历，按某顺序访问每个结点；

　　3、BinTree CreatBinTree( )：创建一个二叉树。

三、二叉树的存储结构

　　1、顺序存储结构

　　完全二叉树：按从上至下、从左到右顺序存储，n个结点的完全二叉树的结点父子关系：  非根结点（序号 i > 1）的父结点的序号是 i / 2； 结点（序号为 i ）的左孩子结点的序号是 2i， （若2 i <= n，否则没有左孩子）;  结点（序号为 i ）的右孩子结点的序号是 2i+1， （若2 i +1<= n，否则没有右孩子）;

　　一般二叉树也可以采用这种结构，但会造成空间浪费

　　2、链式存储结构

typedef int ElementType;
typedef struct TreeNode *BinTree;
typedef BinTree Position;
struct TreeNode{
    ElementType Data;
    BinTree Left;
    BinTree Right;
};

四、设深度为d（只有一个根结点时，d为1）的二叉树只有度为0和2的结点，则此类二叉树的结点数至少为2d-1

　　d为1的时候，至少有1个，2*1 -1；
　　d为2的时候，没有度为1的点，情况为至少为3个 = 2*2 -1；

　　d大于2的时候，由于没有度为1的点，所以每增加一层，每层至少增加两个；

　　设d-1层的公式：2*(d -1) - 1，第d层的就是2*(d -1) - 1 +2，所以d层结点数至少为2*d - 1