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  • 动态规划:最长上升子序列(二分算法 nlogn)

    解题心得:
    1、在数据量比较大的时候n^2会明显超时,所以可以使用nlogn 的算法,此算法少了双重循环,用的lower_bound(二分法)。
    2、lis中的数字并没有意义,仅仅是找到最小点lis[0]和最大点lis[len],其中,在大于lis[len]时len++,在小于lis[len]时可以将arr[i]在lis中的数进行替换掉。所以此算法主要是在不停的找最合适的起点和最合适的终点。


    引用:
    假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7,可以看出来它的LIS长度为5。n
    下面一步一步试着找出它。
    我们定义一个序列B,然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
    此外,我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了
    首先,把d[1]有序地放到B里,令B[1] = 2,就是说当只有1一个数字2的时候,长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

    然后,把d[2]有序地放到B里,令B[1] = 1,就是说长度为1的LIS的最小末尾是1,d[1]=2已经没用了,很容易理解吧。这时Len=1

    接着,d[3] = 5,d[3]>B[1],所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5,就是说长度为2的LIS的最小末尾是5,很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5,Len=2

    再来,d[4] = 3,它正好加在1,5之间,放在1的位置显然不合适,因为1小于3,长度为1的LIS最小末尾应该是1,这样很容易推知,长度为2的LIS最小末尾是3,于是可以把5淘汰掉,这时候B[1..2] = 1, 3,Len = 2

    继续,d[5] = 6,它在3后面,因为B[2] = 3, 而6在3后面,于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6,还是很容易理解吧? Len = 3 了噢。

    第6个, d[6] = 4,你看它在3和6之间,于是我们就可以把6替换掉,得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4, Len继续等于3

    第7个, d[7] = 8,它很大,比4大,嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

    第8个, d[8] = 9,得到B[5] = 9,嗯。Len继续增大,到5了。

    最后一个, d[9] = 7,它在B[3] = 4和B[4] = 8之间,所以我们知道,最新的B[4] =7,B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9,Len = 5。

    于是我们知道了LIS的长度为5。
    !!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS,它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾,我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义,但是如果后面再出现两个数字 8 和 9,那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6],得出LIS的长度为6。

    然后应该发现一件事情了:在B中插入数据是有序的,而且是进行替换而不需要挪动——也就是说,我们可以使用二分查找,将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)~!!


    题目:

    Description

    设有一个序列(a1,a2,..an),如果序列(ai1, ai2, …, aik), 满足1< = i1 < i2< …< ik< =n且ai1 < ai2< .. .< aik,则称(ai1, ai2, …, ak)为(a1,a2,……an)的一上升子序列。 例如序列1,6,2,5,4,7的一个最长上升子序列是1,2,5,7(还有其他的,这里略去),长度是4.给一个序列,求它的最长上升子序列的长度。

    Input

    题目有多组测试数据,每组第一行为一个整数n,代表序列的长度,第二行为序列的n个数。(1<=n<=100000)。//数据量比较大经典算法不合适。

    Output

    每组输出占一行,包含序列的最长上升子序列的长度。

    Sample Input

    7
    1 7 3 5 9 4 8

    Sample Output

    4

    #include<stdio.h>
    #include<algorithm>
    #include<cstring>
    using namespace std;
    int main()
    {
        int n,num[100100],lis[100100],len;
        while(scanf("%d",&n)!=EOF)
        {
            len = 0;
            memset(lis,0,sizeof(lis));
            for(int i=0;i<n;i++)//如果i是从1开始,在lower_bound中的到的位置会返回到0,这样就不可以把lis[1]的位置替换掉,从而WA。
            {
                scanf("%d",&num[i]);
            }
            lis[0] = num[0];
            for(int i=1;i<n;i++)
            {
                if(num[i] > lis[len])//如果num比lis[len]选择的终点大,则可以放入lis,即新的终点。
                    lis[++len] = num[i];
                else
                {
                    int pos = lower_bound(lis,lis+len,num[i]) - lis;//注意lower_bound 的用法,lower_bound返回的是一个地址
                    lis[pos] = num[i];//!!!
                }
            }
            printf("%d
    ",len+1);//len是从0开始的,所以要加上1。
        }
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/GoldenFingers/p/9107388.html
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