莫比乌斯函数学习笔记

本文部分公式来自这篇dalao的博客

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什么是莫比乌斯函数

现在有一个数(x)。
把这个(x)分解质因数:
(large x=prod_{i=0}^{k}p_i^{t_i})
有：
(large mu (n) =egin{cases} &1; if ; n=1 \ &0 ; if ; exists t_{i}> 1 \ &(-1)^{k} ; if ; forall t_{i}= 1 end{cases})

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怎么算莫比乌斯函数

莫比乌斯函数是个积性函数，因此我们可以通过欧拉筛在(O(n))的时间内算出。
代码大概长这样w

int prime[N],p_tot,miu[N];
bool ntPrime[N];
void GetPrime(int n)
{
	miu[1]=1;
	ntPrime[1]=true;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(ntPrime[i]==false)
			prime[++p_tot]=i,miu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=p_tot and i*prime[j]<=n;j++)
		{
			ntPrime[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j]==0) 
			{
				miu[i*prime[j]]=0;
				break;
			}
			miu[i*prime[j]]=miu[i]*miu[prime[j]];
		}
	}
}

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莫比乌斯函数有什么性质

1.(large sum_{dmid n}mu(d) = egin{cases} 1 & ext{ if } n=1 \ 0 & ext{ if } n> 1 end{cases})

证明：
对于第一种讨论(n=1)：显然
对于第二种讨论(n>1),我们可以对它的因子进一步分类讨论，分为两类，第一类是这个因子中有某个质因数出现次数超过了两个，那么显然它的(mu=0)；对于另外那一部分，我们可以这样写:
(sum_{d|x}μ(d)=sum_{i=0}^kC_k^i*(-1)^i)[注1] (=) ((1+(-1))^k)[注2] (= 0)
注1：我们这里相当于对(x)的质因数做排列组合来组合出(x)的因数
注2：这里运用到了二项式定理，省略了一步，中间省略的步骤为：(sum_{i=0}^kC_k^i*(-1)^i*(1)^{k-i})
证毕

2.(large frac{varphi(n)}{n}=sum_{d|n}frac{μ(d)}{d})

证明：不会证，会证后补(咕咕咕)

3.莫比乌斯函数是一个积性函数,有(large μ(a*b)=μ(a)*μ(b) quad (gcd(a,b)=1))

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扩展：莫比乌斯反演

(large f(n)=sum_{d|n}g(d))

(large g(n)=sum_{d|n}μ(d)*f(frac{n}{d}))
上面两个式子可以互相推导

证明：
我不会证，会了再补（咕咕咕）
可以参考这个dalao的博客