边双学习笔记

什么是边双？

双连通分量又分点双连通分量和边双连通分量两种。若一个无向图中的去掉任意一个节点（一条边）都不会改变此图的连通性，即不存在割点（桥），则称作点（边）双连通图。一个无向图中的每一个极大点（边）双连通子图称作此无向图的点（边）双连通分量。求双连通分量可用Tarjan算法。——百度百科

用人话来说，就是在无向图上以边为关键字，对原图缩点

为什么要学边双

与强连通分量类似，我们可以求出边双之后对原图缩点，使原图变为一个没有环的图，方便我们后续处理。

边双怎么写

跟强连通分量做法一模一样，唯一的不同就是我们在取low的时候要小心一下不能取父节点，以防之前取回去

//Luogu P2783 有机化学之神偶尔会做作弊
//Nov,9th,2018
//边双
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;
long long read()
{
    long long x=0,f=1; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;    
}
const int N=10000+100;
vector <int> e[N],e2[N];
int low[N],dfn[N],dfn_to,mstack[N],top,belong[N],cnt;
bool vis[N],InStack[N];
void Tarjan(int now,int fa)
{
    low[now]=dfn[now]=++dfn_to;
    vis[now]=InStack[now]=true;
    mstack[++top]=now;
    for(int i=0;i<int(e[now].size());i++)
        if(vis[e[now][i]]==false)
        {
            Tarjan(e[now][i],now);
            low[now]=min(low[now],low[e[now][i]]);
        }
        else if(e[now][i]!=fa and InStack[e[now][i]]==true)
            low[now]=min(low[now],low[e[now][i]]);
    if(dfn[now]==low[now])
    {
        cnt++;
        while(top>0)
        {
            InStack[mstack[top]]=false;
            belong[mstack[top--]]=cnt;
            if(mstack[top+1]==now)
                break;
        }
    }
}
int n,m;
int fa[N][21],pre[N],depth[N];
void dfs(int now)
{
    vis[now]=true;
    for(int i=1;i<=20;i++)
        fa[now][i]=fa[fa[now][i-1]][i-1];
    for(int i=0;i<int(e2[now].size());i++)
        if(vis[e2[now][i]]==false)
        {
            depth[e2[now][i]]=depth[now]+1;
            fa[e2[now][i]][0]=now;
            pre[e2[now][i]]=pre[now]+1;
            dfs(e2[now][i]);
        }
}
int LCA(int x,int y)
{
    if(depth[x]<depth[y]) swap(x,y);
    for(int i=20;i>=0;i--)
        if(depth[x]-(1<<i)>=depth[y])
            x=fa[x][i];
    if(x==y) return x;
    for(int i=20;i>=0;i--)
        if(fa[x][i]!=fa[y][i])
            x=fa[x][i],y=fa[y][i];
    return fa[x][0];
}
void OutPut(int x)
{
    if(x==0)
    {
        printf("0");
        return;
    }
    int temp[50],ws=0;
    while(x>0)
        temp[++ws]=x%2,x/=2;
    for(int i=ws;i>=1;i--)
        printf("%d",temp[i]);
}
int main()
{
    //freopen("2783.in","r",stdin);
    //freopen("2783.out","w",stdout);
    
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        e[i].reserve(4),
        e2[i].reserve(4);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int s=read(),t=read();
        e[s].push_back(t);
        e[t].push_back(s);
    }
    
    Tarjan(1,1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<int(e[i].size());j++)
            if(belong[i]!=belong[e[i][j]])
                e2[belong[i]].push_back(belong[e[i][j]]);
    
    memset(vis,0,sizeof vis);
    pre[1]=1;
    dfs(1);
    
    int q=read();
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        int x=belong[read()],y=belong[read()],lca=LCA(x,y);
        int ans=pre[x]+pre[y]-pre[lca];
        if(lca!=1) ans-=pre[fa[lca][0]];
        OutPut(ans);
        printf("
");
        //printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}

例题：

luogu P2783 有机化学之神偶尔会做作弊

这题我们只需要对原图做边双缩点之后LCA直接前缀和做就好。

//Luogu P2783 有机化学之神偶尔会做作弊
//Nov,9th,2018
//边双
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;
long long read()
{
    long long x=0,f=1; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;    
}
const int N=10000+100;
vector <int> e[N],e2[N];
int low[N],dfn[N],dfn_to,mstack[N],top,belong[N],cnt;
bool vis[N],InStack[N];
void Tarjan(int now,int fa)
{
    low[now]=dfn[now]=++dfn_to;
    vis[now]=InStack[now]=true;
    mstack[++top]=now;
    for(int i=0;i<int(e[now].size());i++)
        if(vis[e[now][i]]==false)
        {
            Tarjan(e[now][i],now);
            low[now]=min(low[now],low[e[now][i]]);
        }
        else if(e[now][i]!=fa and InStack[e[now][i]]==true)
            low[now]=min(low[now],low[e[now][i]]);
    if(dfn[now]==low[now])
    {
        cnt++;
        while(top>0)
        {
            InStack[mstack[top]]=false;
            belong[mstack[top--]]=cnt;
            if(mstack[top+1]==now)
                break;
        }
    }
}
int n,m;
int fa[N][21],pre[N],depth[N];
void dfs(int now)
{
    vis[now]=true;
    for(int i=1;i<=20;i++)
        fa[now][i]=fa[fa[now][i-1]][i-1];
    for(int i=0;i<int(e2[now].size());i++)
        if(vis[e2[now][i]]==false)
        {
            depth[e2[now][i]]=depth[now]+1;
            fa[e2[now][i]][0]=now;
            pre[e2[now][i]]=pre[now]+1;
            dfs(e2[now][i]);
        }
}
int LCA(int x,int y)
{
    if(depth[x]<depth[y]) swap(x,y);
    for(int i=20;i>=0;i--)
        if(depth[x]-(1<<i)>=depth[y])
            x=fa[x][i];
    if(x==y) return x;
    for(int i=20;i>=0;i--)
        if(fa[x][i]!=fa[y][i])
            x=fa[x][i],y=fa[y][i];
    return fa[x][0];
}
void OutPut(int x)
{
    if(x==0)
    {
        printf("0");
        return;
    }
    int temp[50],ws=0;
    while(x>0)
        temp[++ws]=x%2,x/=2;
    for(int i=ws;i>=1;i--)
        printf("%d",temp[i]);
}
int main()
{
    //freopen("2783.in","r",stdin);
    //freopen("2783.out","w",stdout);
    
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        e[i].reserve(4),
        e2[i].reserve(4);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int s=read(),t=read();
        e[s].push_back(t);
        e[t].push_back(s);
    }
    
    Tarjan(1,1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<int(e[i].size());j++)
            if(belong[i]!=belong[e[i][j]])
                e2[belong[i]].push_back(belong[e[i][j]]);
    
    memset(vis,0,sizeof vis);
    pre[1]=1;
    dfs(1);
    
    int q=read();
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        int x=belong[read()],y=belong[read()],lca=LCA(x,y);
        int ans=pre[x]+pre[y]-pre[lca];
        if(lca!=1) ans-=pre[fa[lca][0]];
        OutPut(ans);
        printf("
");
        //printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}