平面图转对偶图&19_03_21校内训练 [Everfeel]

对于每个平面图，都有唯一一个对偶图与之对应。若G‘是平面图G的对偶图，则满足：

G'中每一条边的两个节点对应着G中有公共边的面，包括最外部无限大的面。

直观地讲，红色标出来的图就是蓝色标出的图的对偶图。

求出一个平面图的对偶图（而且不是特殊的结构），可以贪心地找出所有最小的面。但如何描述最小？我们要固定一条边，按它顺时针或逆时针的方向找到第一条边，直到出现第一个访问过的边，就找到了一个面。

具体地将：从每个边出发，按有方向的角排序，找到角度最大或最小的边，再进行下去。反正自己写写代码就知道了。

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例题

给出一个平面图，每个点有a和b两种属性，每个面（包括无限大的面）的价值为在这个面上的点的a总和或b总和，若相邻的面所选的属性不同，代价为所有相邻点边的点权和。最大化总价值。N≤4000。

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思路

考场上从没写过对偶图，结果自己搞出来了.......反而最小割没写出来。

转完对偶图后，从S向每个对偶图上的点连一条比边权为该面的a价值总和的边，再从这个点向T连一条边权为该面的b价值总和的边。对于原图相邻的面，连一条权值为公共边价值和的边（这个要双向）。不难发现其最小割为最小的代价。

如：重复的边合并即可。

一个不需要代码的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
const double pi=3.1415926535898;
const ll maxn=2E5+5;
const ll inf=INT_MAX;
ll min(ll x,ll y){return x<y?x:y;}
struct pt
{
    double x,y;
    int pos;
    pt(double a=0,double b=0,int p=0){x=a,y=b;pos=p;}
    void operator=(pt A){x=A.x,y=A.y,pos=A.pos;}
    pt operator+(pt A){return pt(x+A.x,y+A.y,pos);}
    pt operator-(pt A){return pt(x-A.x,y-A.y,pos);}
    void out(){cout<<x<<" "<<y<<" ";}
}p[maxn];
ll n,m,v[maxn][2],x,y,z,cur,val[maxn][2],ans,dfn[maxn],ti,S,T;
bool vis[maxn*2]; 
map<int,int>next;
map<pair<int,int>,int>cost;
set<pair<int,int> >eS;
pt rotate(pt A,double ra){return pt(A.x*cos(ra)-A.y*sin(ra),A.x*sin(ra)+A.y*cos(ra),A.pos);}
pt wait[maxn];
bool cmp(pt A,pt B)
{
    double r1=atan2(A.y,A.x);
    double r2=atan2(B.y,B.x);
    if(r1<0)r1+=2*pi;
    if(r2<0)r2+=2*pi;
    return r1<r2; 
}
struct edge{ll to,next,from,w,bel;};
struct graph
{
    int head[maxn*2],size;
    graph(){size=1;}
    edge E[maxn*2];
    void add(int u,int v,ll w)
    {
        E[++size].to=v;
        E[size].next=head[u];
        E[size].w=w;
        E[size].from=u;
        head[u]=size;
    }
    void sortAngle(pt A,pt B,int r,int num)//suppose that A is the centre
    {
        B=B-A;
        double ra=-atan2(B.y,B.x);
        B=rotate(B,ra);
        for(int i=1;i<=r;++i)wait[i]=rotate(wait[i]-A,ra);
        sort(wait+1,wait+r+1,cmp);
        next[num]=wait[1].pos;
        for(int i=1;i<r;++i)
            next[wait[i].pos^1]=wait[i+1].pos;
        next[wait[r].pos^1]=num^1;
    }
    void sortAll()
    {
        for(int i=2;i<=size;++i)
        {
            if(next[i]==0)
            {
                int L=0;
                for(int j=head[E[i].to];j;j=E[j].next)
                {
                    if(E[j].to==E[i].from)continue;
                    wait[++L]=p[E[j].to];
                    wait[L].pos=j;
                }
                sortAngle(p[E[i].to],p[E[i].from],L,i);
            }
        }
    }
    void dfs(int i,int pos)
    {
        ans+=v[E[i].to][0];
        ans+=v[E[i].to][1];
        vis[i]=1;
        E[i].bel=pos;
        val[pos][0]+=v[E[i].to][0];
        val[pos][1]+=v[E[i].to][1];
        i=next[i];
        if(vis[i])return;
        dfs(i,pos);
    }
    void getVal()
    {
        sortAll();
        for(int i=2;i<=size;++i)
            if(!vis[i])
            { 
                ++cur;
                dfs(i,cur);
            }
    }
    bool bfs()
    {
        for(int i=0;i<=T;++i)dfn[i]=-1;
        dfn[S]=0;
        queue<int>Q;
        Q.push(S);
        while(Q.size())
        {
            int u=Q.front();
            Q.pop();
            for(int i=head[u];i;i=E[i].next)
            {
                int v=E[i].to;
                if(dfn[v]!=-1||E[i].w==0)continue;
                dfn[v]=dfn[u]+1;
                Q.push(v);
            }
        }
        return dfn[T]!=-1;
    }
    ll dinic(int u,ll up)
    {
        if(u==T)return up;
        ll sum=0;
        for(int i=head[u];i;i=E[i].next)
        {
            int v=E[i].to;
            if(dfn[v]!=dfn[u]+1||E[i].w==0)continue;
            ll g=dinic(v,min(E[i].w,up-sum));
            E[i].w-=g;
            E[i^1].w+=g;
            sum+=g;
            if(g==0)dfn[v]=-1;
            if(sum==up)break;
        }
        return sum;
    }
}G,flow;
int main()
{
    freopen("everfeel.in","r",stdin);
    freopen("everfeel.out","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        cin>>p[i].x>>p[i].y>>v[i][0]>>v[i][1];
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        cin>>x>>y>>z;
        G.add(x,y,z);
        G.add(y,x,z);
    }
    G.getVal();
    S=0;
    T=cur+1;
    for(int i=2;i<=G.size;i+=2)
    {
        pair<int,int>P=make_pair(G.E[i].bel,G.E[i^1].bel);
        cost[P]+=G.E[i].w;
        eS.insert(P);
    }
    for(set<pair<int,int> >::iterator pos=eS.begin();pos!=eS.end();++pos)
    {
        flow.add(pos->first,pos->second,cost[*pos]);
        flow.add(pos->second,pos->first,cost[*pos]);
    }
    for(int i=1;i<=cur;++i)
    {
        flow.add(S,i,val[i][0]);
        flow.add(i,S,0);
        flow.add(i,T,val[i][1]);
        flow.add(T,i,0);
    }
    ll sum=0;
    while(flow.bfs())sum+=flow.dinic(S,inf);
    cout<<ans-sum<<endl; 
    return 0;
}

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