[集训]FWT基础练习题

题意

给出n个长度为20的二进制数和数字k，每次询问给出一个二进制数，问从n个数中挑k个数（不能重复）的按位或能包含询问的组合有多少个。数字均小于等于5E5，1s。

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思考

强行算出2^20个答案，再O(1)询问。

可知按位或的FWT能够将两个数组融合成新的数组。假设F_k表示挑出k个数字能组成的所有可能的桶，A为原始的桶数组，可知F_k[i]=(F_k-1 或运算FWT A)[i]-(k-1)F_k-1[i]，后面减法的目的是减去数被重复选择的部分。

再观察FWT其实是线性变换，因此F_k[i]可以预先乘上k方便下一次计算。因此最开始只要乘上某个组合数即可。

最后根据按位与FWT可得到所有的答案。总复杂度O(nlogn)。

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代码

#pragma GCC optimize 2
#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef long long int ll;
const int maxn=1E6+5E5+5;
const int LEN=4;
const int G=1<<LEN;
ll n,k,m,a[maxn],b[maxn],c[maxn],d[maxn];
ll fac[maxn],inv[maxn];
string str;
inline int get(string str)
{
    int sum=0;
    for(int i=0;i<LEN;++i)
        sum=sum*2+str[i]-'0';
    return sum;
}
ll qpow(ll x,ll y)
{
    ll ans=1,base=x;
    while(y)
    {
        if(y&1)
            ans=ans*base%mod;
        base=base*base%mod;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
void init()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=500000;++i)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    inv[500000]=qpow(fac[500000],mod-2);
    for(int i=500000-1;i>=0;--i)
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
void FWT(ll*A,int t1,int t2)
{
    for(int len=2;len<=G;len<<=1)
        for(int i=0;i<G/len;++i)
            for(int j=0;j<len/2;++j)
            {
                ll a=A[i*len+j],b=A[i*len+j+len/2];
                A[i*len+j]=(a+b*t1)%mod;
                A[i*len+j+len/2]=(b+a*t2)%mod;
            }
}
template<class T>void copy(T*a,T*b,int x)
{
    for(int i=0;i<x;++i)
        a[i]=b[i];
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    init();
    cin>>n>>k>>m;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        cin>>str;
        ++a[get(str)];
    }
    copy(c,a,G);
    FWT(a,0,1);
    for(int i=0;i<G;++i)
    {
        if(a[i]>=k)
            a[i]=fac[a[i]]*inv[a[i]-k]%mod;
        else
            a[i]=0;
    }
    FWT(a,0,-1);
    /*
    for(int i=2;i<=k;++i)
    {
        copy(d,a,G);
        FWT(a,0,1);
        copy(b,c,G);
        FWT(b,0,1);
        for(int j=0;j<G;++j)
            a[j]=a[j]*b[j]%mod;
        FWT(a,0,-1);
        for(int j=0;j<G;++j)
            a[j]=(a[j]-d[j]*(i-1)+mod)%mod;
    }
    */
    FWT(a,1,0);
    while(m--)
    {
        cin>>str;
        cout<<a[get(str)]*inv[k]%mod<<endl;
    }
    return 0;
}