[校内训练19_09_05]ca

题意

对于任意1 ≤k≤N，求有多少个左右区分的恰有k个叶子节点的二叉树，满足对于每个节点要么没有叶子节点要么有两个节点，同时不存在一个叶子节点，使得根到它的路径上有不少于M条向左的边。

答案对998244353取模。

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思考

将问题放到平面上考虑。起初在原点，我们考虑树的dfs序，每次向左走一次，得到的向量是(1,1)，否则是(1,-1)。

由于题目要求要么没有叶子节点，要么有两个节点，因此路径不会到第四象限。如果某次路径到达或超过了y=M，那么一定是不合法的。

这样一来，我们就可以进行简单的转移，对每个点统计所有合法的路径个数。

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代码

// luogu-judger-enable-o2
#include <cstdio>
#define N_MAX 5000
#define M_MAX 5000
#define MOD 998244353
typedef void vnt;
inline int moc(int x) { return x < MOD ? x : x - MOD; }
inline vnt upc(int & x, int y) { x = moc(x + y); }
int m, n, i, j, f[N_MAX + 1][M_MAX + 1];
int main()
{
    scanf("%d %d", &m, &n);
    f[1][0] = 1;
    for (i = 1; i < n; ++i)
        for (j = 0; j < m; ++j)
        {
            if (j < m - 1)
                upc(f[i][j + 1], f[i][j]);
            if (j > 0)
                upc(f[i + 1][j - 1], f[i][j]);
        }
    for (i = 1; i <= n; ++i)
        printf("%d
", f[i][0]);
    return 0;
}