[校内训练20_10_13]ABC

A.求矩阵的秩。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
int n,m;
ll a[205][205],b[205][205];
inline ll qpow(ll x,ll y,ll mod)
{
    ll ans=1,base=x;
    while(y)
    {
        if(y&1)
            ans=ans*base%mod;
        base=base*base%mod;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
inline void add(ll&x,ll y,ll mod)//!!!!!!!!!!!!!!
{
    x=(x+y)%mod;
}
inline int test(ll mod)
{
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=m;++j)
            b[i][j]=a[i][j];
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        bool ok=0;
        for(int j=i;j<=n;++j)
            if(b[j][i])
            {
                swap(b[i],b[j]);
                ok=1;
                break;
            }
        if(!ok)
            return i-1;
        ll s=qpow(b[i][i],mod-2,mod);
        for(int j=i+1;j<=n;++j)
        {
            ll g=(mod-b[j][i]*s%mod)%mod;
            for(int k=i;k<=m;++k)
                add(b[j][k],b[i][k]*g,mod);
        }
    }
    return m;
}
int main()
{
//    freopen("kangaroo.in","r",stdin);
//    freopen("kangaroo.out","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=m;++j)
            cin>>a[i][j];
    if(n<m)
    {
        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=i;j<=m;++j)
                swap(a[i][j],a[j][i]);
        swap(n,m);
    }
    cout<<max(max(max(test(998244353),test(1000000007)),test(19260817)),test(1145141))<<endl;
    return 0;
}

---

B.给出一个树，树上节点u能到达后代节点v当且仅当a[u]是a[v]的倍数，求1到所有节点的路径数。数字的约数个数不超过100000。

考虑如下两种方法：

1.dfs时，每次到达一个节点时用O(1)从bucket中获得答案，然后花O(d)时间更新bucket（找到所有约数）。

2.dfs时，每次到达一个节点时用O(d)时间访问bucket中的所有可能的倍数，然后O(1)更新数组。

为了降低复杂度，我们可以将一个数字分为两部分：前半部分用来更新数组，使用算法1；后半部分用来统计答案，使用算法2。

这就是csp初赛的最后一题。

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef long long int ll;
typedef long double ld;
const int maxn=1E5+5;
int n,size,head[maxn];
ll a[maxn],ans[maxn];
int totP,limit,buf[21],up[21],b[maxn][21];
struct edge
{
    int to,next;
}E[maxn*2];
inline ll read()
{
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))ch=getchar();
    ll s=ch-'0';ch=getchar();
    while(isdigit(ch)){s=s*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return s;
}
int G[55];
inline void write(ll x)
{
    int g=0;
    do{G[++g]=x%10;x/=10;}while(x);
    for(int i=g;i>=1;--i)putchar('0'+G[i]);putchar('
');
}
inline void add(int u,int v)
{
    E[++size].to=v;
    E[size].next=head[u];
    head[u]=size;
}
int tmp[21];
ll bucket[10000005];
int pre[maxn];
ll getAns(int u,int s,int now)
{
    if(s>limit)
    {
        if(!pre[u])
            while(s<totP)
            {
                pre[u]+=b[u][s]*buf[s];
                ++s;
            }
        now+=pre[u];
        return bucket[now];
    }
    ll sum=0;
    now+=buf[s]*b[u][s];
    for(int i=b[u][s];i<=up[s];++i,now+=buf[s])
        sum+=getAns(u,s+1,now);
    return sum;
}
void addAns(int u,int s,int now,ll x,bool flag)
{
    if(s==totP)
    {
        if(flag)
        {
            bucket[now]+=x;
            if(bucket[now]>=mod)
                bucket[now]-=mod;
        }
        else
        {
            bucket[now]-=x;
            if(bucket[now]<0)
                bucket[now]+=mod;
        }
        return;
    }
    if(s<=limit)
    {
        while(s<=limit)
        {
            now+=b[u][s]*buf[s];
            ++s;
        }
        addAns(u,s,now,x,flag);
    }
    else
        for(int i=0;i<=b[u][s];++i,now+=buf[s])
            addAns(u,s+1,now,x,flag);
} 
void dfs(int u,int F)
{
    if(u==1)
        ans[u]=1;
    else
        ans[u]=getAns(u,0,0)%mod;
    addAns(u,0,0,ans[u],1);
    for(int i=head[u];i;i=E[i].next)
    {
        int v=E[i].to;
        if(v==F)
            continue;
        dfs(v,u);
    }
    addAns(u,0,0,ans[u],0);
}
namespace MATH
{
    const int len=10;
    const int test[len]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};
    inline ll mul(ll x,ll y,ll M)
    {
        return (ll(x*y-(ll((ld)x*y/M))*M)%M+M)%M;
    }
    inline ll qpow(ll x,ll y,ll M)
    {
        ll ans=1,base=x;
        while(y)
        {
            if(y&1)
                ans=mul(ans,base,M);
            base=mul(base,base,M);
            y>>=1;
        }
        return ans;
    }
    inline bool miller(ll x)
    {
        for(int i=0;i<len;++i)
        {
            if(x<test[i])
                return false;
            else if(x==test[i])
                return true;
            ll now=qpow(test[i],x-1,x),g=x-1;
            if(now!=1)
                return false;
            while(now==1&&!(g&1))
            {
                g>>=1;
                now=qpow(test[i],g,x);
                if(now!=1&&now!=x-1)
                    return false;
            }
        }
        return true;
    }
    ll gcd(ll x,ll y)
    {
        return x%y==0?y:gcd(y,x%y);
    }
    inline ll f(ll x,ll y,ll M)
    {
        return (mul(x,x,M)+y)%M;
    }
    inline ll get(ll n,ll c,int steps)
    {
        if(!(n&1))
            return 2;
        ll x=2,y=2,d=1;
        while(true)
        {
            ll tmpx=x,tmpy=y;
            for(int i=1;i<=steps;++i)
            {
                x=f(x,c,n);
                y=f(y,c,n);
                y=f(y,c,n);
                d=mul(d,((y-x)%n+n)%n,n);
            }
            d=gcd(d,n);
            if(d==1)
                continue;
            if(d!=n)
                return d;
            x=tmpx,y=tmpy;
            for(int i=1;i<=steps;++i)
            {
                x=f(x,c,n);
                y=f(y,c,n);
                y=f(y,c,n);
                d=gcd(((y-x)%n+n)%n,n);
                if(d!=1&&d!=n)
                    return d;
            }
            return 0;
        }
    }
    vector<ll>wait;
    void pollard(ll n)
    {
        if(miller(n))
        {
            wait.push_back(n);
            return;
        }
        ll now=0,c=1,g=pow(n,0.1)+1;
        while(!now)
            now=get(n,++c,g);
        pollard(now),pollard(n/now);
    }
    int prime[555];
    void main()
    {
        if(a[1]!=1)
            pollard(a[1]);
        sort(wait.begin(),wait.end());
        int last=-1;
        for(int i=0;i<wait.size();++i)
        {
            if(wait[i]!=last)
            {
                ++up[totP]; 
                prime[totP++]=wait[i];
            }
            else
                ++up[totP-1];
            last=wait[i];
        }
        buf[totP-1]=1;
        for(int i=totP-2;i>=0;--i)
            buf[i]=buf[i+1]*(up[i+1]+1);
        int s=up[0]+1,now=buf[0];
        limit=0;
        for(int i=1;i<totP;++i)
        {
            if(max(s,buf[0]/s)<now)
            {
                now=max(s,buf[0]/s);
                limit=i;
            }
            s*=up[i]+1;
        }
        for(int u=1;u<=n;++u)
        {
            ll x=a[u];
            for(int i=0;i<totP;++i)
                while(x%prime[i]==0)
                {
                    x/=prime[i];
                    ++b[u][i];
                }
        }
        /*
        cout<<"PRIME : ";
        for(int i=0;i<totP;++i)
            cout<<prime[i]<<" ";cout<<endl;
        for(int u=1;u<=n;++u)
        {
            cout<<u<<" : ";
            for(int i=0;i<totP;++i)
                cout<<b[u][i]<<" ";cout<<endl;
        }
        cout<<"LIMIT : "<<limit<<endl;
        */
    }
}
inline void init()
{
    MATH::main();
}
inline void solve()
{
    init();
    dfs(1,0);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        write((ans[i]%mod+mod)%mod);
}
int main()
{
    freopen("walk.in","r",stdin);
    freopen("walk.out","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(false);
    n=read();
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        int x=read(),y=read();
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        a[i]=read();
    solve();
    return 0;
}

---

C.三元环计数

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
const int maxn=2E5+5;
int n,m;
int size,head[maxn];
int size2,head2[maxn],deg[maxn];
ull A,B,C,ans,a[maxn],sum[maxn];
inline int read()
{
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))ch=getchar();
    int s=ch-'0';ch=getchar();
    while(isdigit(ch)){s=s*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return s;
}
struct edge
{
    int to,next;
}E[maxn*2],E2[maxn*2];
inline void add(int u,int v)
{
    E[++size].to=v;
    E[size].next=head[u];
    head[u]=size;
}
inline void add2(int u,int v)
{
    E2[++size2].to=v;
    E2[size2].next=head2[u];
    head2[u]=size2;
}
inline ull C2(int x)
{
    return (ull)x*(x-1)/2;
}
inline void get0()
{
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        ans+=A*i*C2(n-i-1);
        ans+=B*i*i*(n-i-1);
        ans+=C*i*C2(i);
    }
}
inline void get1()
{
    for(int u=0;u<n;++u)
        for(int e=head[u];e;e=E[e].next)
        {
            int v=E[e].to;
            if(u>v)
                continue;
            int x=u,y=v;
            ans-=(ull)(n-y-1)*(A*x+B*y)+C*(sum[n-1]-sum[y]);
            ans-=(ull)(y-x-1)*(A*x+C*y)+B*(sum[y-1]-sum[x]);
            if(x)
                ans-=(ull)(x)*(B*x+C*y)+A*(sum[x-1]);
        }
}
int tmpL[maxn],tmpR[maxn];
inline void get2()
{
    for(int u=0;u<n;++u)
    {
        int totL=0,totR=0;
        ull sumL=0,sumR=0;
        for(int e=head[u];e;e=E[e].next)
        {
            int v=E[e].to;
            if(v<u)
                tmpL[++totL]=v;
            else
                tmpR[++totR]=v;
        }
        ans+=B*u*totL*totR;
        
        sort(tmpL+1,tmpL+totL+1);
        sort(tmpR+1,tmpR+totR+1);
        
        for(int i=1;i<=totL;++i)
        {
            ans+=A*tmpL[i]*totR;
            ans+=A*tmpL[i]*(totL-i);
            ans+=B*tmpL[i]*(i-1);
        }
        ans+=C*u*C2(totL);
        
        for(int i=1;i<=totR;++i)
        {
            ans+=C*tmpR[i]*totL;
            ans+=B*tmpR[i]*(totR-i);
            ans+=C*tmpR[i]*(i-1);
        }
        ans+=A*u*C2(totR);
    }
}
int TI,color[maxn];
inline void get3()
{
    for(int u=0;u<n;++u)
        for(int i=head[u];i;i=E[i].next)
        {
            int v=E[i].to;
            if(deg[u]==deg[v]&&u>v)
                add2(u,v);
            else if(deg[u]>deg[v])
                add2(u,v);
        }
    for(int u=0;u<n;++u)
    {
        ++TI;
        for(int i=head2[u];i;i=E2[i].next)
            color[E2[i].to]=TI;
        for(int i=head2[u];i;i=E2[i].next)
        {
            int v=E2[i].to;
            for(int j=head2[v];j;j=E2[j].next)
            {
                int w=E2[j].to;
                if(color[w]==TI)
                {
                    int x=min(min(u,v),w);
                    int y=max(max(u,v),w);
                    int z=u;
                    if(x!=u&&y!=u)
                        z=u;
                    else if(x!=v&&y!=v)
                        z=v;
                    else
                        z=w;
                    ans-=A*x+B*z+C*y;
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    freopen("girls.in","r",stdin);
    freopen("girls.in","r",stdin);
    ios::sync_with_stdio(false);
    n=read(),m=read(),A=read(),B=read(),C=read(); 
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int x=read(),y=read();
        add(x,y);
        add(y,x);
        ++deg[x],++deg[y];
    }
    for(int i=1;i<n;++i)
        sum[i]=sum[i-1]+i;
    get0();
    get1();
    get2();
    get3();
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}