假设最后以 $i$ 为根的树大小为 $a_i$，第 $i$ 个加入的点，加入的树是第 $b_i$ 棵。
首先考虑给定一个 ${b_n}$，求这个序列出现的概率。
则概率为 $prod_{i=1}^d frac{sum_{j=1}^i[b_i=b_j]}{n+i-1}$。
考虑枚举每一种 $b_i$，则答案为 $frac{(n-1)!}{(n+d-1)!}prod_{i=1}^dprod_{j=1}^{cnt_i}j=frac{(n-1)!}{(n+d-1)!}prod_{i=1}^ncnt_i!$，其中 $cnt_i$ 为 $i$ 在 ${b_n}$ 中的出现次数。
考虑给定一个 ${a_n}$，求这个最终序列的出现概率为 $frac{d!}{prod (a_i-1)!} imesfrac{(n-1)!}{(n+d-1)!} imesprod (a_i-1)!=frac{1}{inom{n+d-1}{n-1}}$。即对于每一种 ${a_n}$ 出现概率均相同。
则答案等于 $frac{sum_{sum a_i=n+d}{sum_{i=1}^rkth_i{a_n}}}{inom{n+d-1}{n-1}}$。
$$sum_{{a_n}}sum_{i=1}^rkth_i{a_n}$$
$$=sum_{{a_n}}sum_{i=1}^rsum_{j=0}^d[sum[a_x>j]geq i]$$
$$=sum_{i=0}^dsum_{j=1}^nmin(j,r) imessum_{{a_n}}[sum[a_x>i]=j]$$
设 $f_{i,j}=sum_{{a_n}}[sum[a_x>i]=j]$，$g_{i,j}$ 表示钦定 $j$ 个位置的 $a_x>i$ 的方案数。
则有
$$g_{i,j}=inom njinom {n+d-1-i*j}{n-1}$$
$$g_{i,j}=sum_{k=j}^ninom kjf_{i,k}$$
二项式反演，得
$$f_{i,j}=sum_{k=j}^ninom kj(-1)^{k-j}g_{i,k}$$
$$=sum_{k=j}^ninom kj(-1)^{k-j}inom nkinom{n+d-1-i*k}{n-1}$$
代入原式，得
$$sum_{{a_n}}sum_{i=1}^rkth_i{a_n}$$
$$=sum_{i=0}^dsum_{j=1}^nmin(j,r)sum_{k=j}^ninom kj(-1)^{k-j}inom nkinom{n+d-1-i*k}{n-1}$$
$$=sum_{k=1}^ninom nk(-1)^kleft(sum_{j=1}^kinom kj(-1)^jmin(j,r)
ight)left(sum_{i=0}^dinom{n+d-1-i*k}{n-1}
ight)$$
考虑两部分分别计算
第二部分可以处理出所有 $inom{n+d-1-x}{n-1}(xleq d)$，然后使用高维前缀和计算 $O(nloglog n)$ 即可。
$$sum_{j=1}^kinom kj(-1)^jmin(j,r)$$
令 $r'=min(r,k)$
$$=sum_{j=0}^{r'}inom kj(-1)^jj+r'sum_{j=r'+1}^{k}inom kj(-1)^j$$
$$=-ksum_{j=1}^{r'}inom {j-k-1}{j-1}+r'sum_{j=r'+1}^{k}inom kj(-1)^j$$
$$=-ksum_{j=0}^{r'-1}inom{j-k}{j}+r'left(sum_{j=0}^kinom kj(-1)^j-sum_{j=0}^{r'}inom kj(-1)^j ight)$$
$$=-kinom{r'-k}{r'-1}-r'sum_{j=0}^{r'}inom{j-k-1}{j}$$
$$=-kinom{r'-k}{r'-1}-r'inom{r'-k}{r'}$$
$$=(-1)^{r'}kinom{k-2}{r'-1}-(-1)^{r'}r'inom{k-1}{r'}$$
$$=(-1)^{r'}kinom{k-2}{r'-1}-(-1)^{r'}(k-1)inom{k-2}{r'-1}$$
$$=(-1)^{r'}inom{k-2}{r'-1}$$
单个 $O(1)$ 计算即可