[校内训练21_02_20]

第一题在尝试了几个错误的dp后，意识到所有合法的序列可以抽象为选出一个子序列，并将他们拓展至长度为n的序列。为了避免记重，我们强制选择第一个出现的字符。于是，f[i][j]表示已经填了i个字符，现在正停留在原序列的第j个字符上，若是朴素转移，需要借助nxt[i][26]，即下一个字符的位置。而这件事显然可以用前缀和优化（画个图）。

但做题速度还是太慢了！花了1h才解决。

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef long long int ll;
const int maxn=8005;
int n,a[maxn],vis[26],pre[maxn][26];
ll f[2][maxn],sum[maxn];
inline void add(ll&x,ll y)
{
    x=(x+y)%mod;
}
int main()
{
    freopen("count1.in","r",stdin);
    freopen("count1.out","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        char ch;
        cin>>ch;
        a[i]=ch-'a';
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(int j=0;j<26;++j)
            pre[i][j]=pre[i-1][j];
        pre[i][a[i]]=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(!vis[a[i]])
        {
            vis[a[i]]=1;
            f[1][i]=1;
        }
    for(int j=1;j<n;++j)
    {
        int p=j&1;
        int q=p^1;
        memset(f[q],0,sizeof(f[q]));
        for(int i=1;i<=n;++i)
            sum[i]=sum[i-1]+f[p][i];
        for(int i=1;i<=n;++i)
            add(f[q][i],sum[i]-sum[pre[i-1][a[i]]]);
    }
    ll ans=0;
    int p=n&1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        add(ans,f[p][i]);
    cout<<(ans%mod+mod)%mod<<endl;
    return 0;
}

---

第二题实质上是维护$sum_{i=1}^{n}{L_i*M_i*R_i}$，支持对每一个变量进行加法或赋值。虽然题解上有更好（指代码长度短）的做法，但是线段树是相当好写的。花了1h解决。

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef long long int ll;
const int maxn=1E5+5;
inline int read()
{
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))ch=getchar();
    int s=ch-'0';ch=getchar();
    while(isdigit(ch)){s=s*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return s;
}
int G[55];
inline void write(ll x)
{
    int g=0;
    do{G[++g]=x%10;x/=10;}while(x);
    for(int i=g;i>=1;--i)putchar(G[i]+'0');putchar('
');
}
struct SEG
{
    int n;
    ll*mlr,*lr,*ml,*mr,*m,*tl,*tr;
    ll*aM,*aL,*aR,*bL,*bR;
    ll*tagX,*tagY;
    bool*ok;
    inline void pushup(int num)
    {
        mlr[num]=(mlr[num<<1]+mlr[num<<1|1])%mod;
        ml[num]=(ml[num<<1]+ml[num<<1|1])%mod;
        mr[num]=(mr[num<<1]+mr[num<<1|1])%mod;
        lr[num]=(lr[num<<1]+lr[num<<1|1])%mod;
        m[num]=(m[num<<1]+m[num<<1|1])%mod;
        tl[num]=(tl[num<<1]+tl[num<<1|1])%mod;
        tr[num]=(tr[num<<1]+tr[num<<1|1])%mod;
    }
    void build(int l,int r,int num)
    {
        tagX[num]=tagY[num]=0;
        if(l==r)
        {
            mlr[num]=aM[l]*aR[l]%mod*aL[l]%mod;
            ml[num]=aM[l]*aL[l]%mod;
            mr[num]=aM[l]*aR[l]%mod;
            lr[num]=aM[l]*aR[l]%mod;
            m[num]=aM[l];
            tl[num]=aL[l];
            tr[num]=aR[l];
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        build(l,mid,num<<1),build(mid+1,r,num<<1|1);
        pushup(num);
    }
    inline void init(int N,ll*M,ll*L,ll*R)
    {
        n=N;
        aM=new ll[n+1];
        aL=new ll[n+1];
        aR=new ll[n+1];
        bL=new ll[n+1];
        bR=new ll[n+1];
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            bL[i]=L[i],bR[i]=R[i];
            aM[i]=M[i];
        }
        aL[1]=bL[1];
        for(int i=2;i<=n;++i)
            aL[i]=(aL[i-1]+bL[i])%mod;
        aR[n]=bR[n];
        for(int i=n-1;i>=1;--i)
            aR[i]=(aR[i+1]+bR[i])%mod;
        for(int i=1;i<=n;++i)
            aL[i]=(aL[i]-bL[i]+mod)%mod,aR[i]=(aR[i]-bR[i]+mod)%mod;
        mlr=new ll[(n+1)*4];
        ml=new ll[(n+1)*4];
        mr=new ll[(n+1)*4];
        lr=new ll[(n+1)*4];
        m=new ll[(n+1)*4];
        tl=new ll[(n+1)*4];
        tr=new ll[(n+1)*4];
        tagX=new ll[(n+1)*4];
        tagY=new ll[(n+1)*4];
        ok=new bool[n+1];
        for(int i=1;i<=n;++i)
            ok[i]=1;
        build(1,n,1);
    }
    inline void putX(int num,ll x,ll l,ll r)
    {
        tagX[num]=(tagX[num]+x)%mod;
        mlr[num]=(mlr[num]+mr[num]*x)%mod;
        ml[num]=(ml[num]+m[num]*x)%mod;
        lr[num]=(lr[num]+tr[num]*x)%mod;
        tl[num]=(tl[num]+(r-l+1)*x)%mod;
    }
    inline void putY(int num,ll x,ll l,ll r)
    {
        tagY[num]=(tagY[num]+x)%mod;
        mlr[num]=(mlr[num]+ml[num]*x)%mod;
        mr[num]=(mr[num]+m[num]*x)%mod;
        lr[num]=(lr[num]+tl[num]*x)%mod;
        tr[num]=(tr[num]+(r-l+1)*x)%mod;
    }
    inline void pushdown(int num,int l,int r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(tagX[num])
        {
            ll x=tagX[num];
            tagX[num]=0;
            putX(num<<1,x,l,mid),putX(num<<1|1,x,mid+1,r);
        }
        if(tagY[num])
        {
            ll x=tagY[num];
            tagY[num]=0;
            putY(num<<1,x,l,mid),putY(num<<1|1,x,mid+1,r);
        }
    }
    void addX(int L,int R,int l,int r,ll x,int num)
    {
        if(L<=l&&r<=R)
        {
            putX(num,x,l,r);
            return;
        }
        pushdown(num,l,r);
        int mid=(l+r)>>1;
        if(L<=mid)
            addX(L,R,l,mid,x,num<<1);
        if(mid<R)
            addX(L,R,mid+1,r,x,num<<1|1);
        pushup(num);
    }
    void addY(int L,int R,int l,int r,ll x,int num)
    {
        if(L<=l&&r<=R)
        {
            putY(num,x,l,r);
            return;
        }
        pushdown(num,l,r);
        int mid=(l+r)>>1;
        if(L<=mid)
        
            addY(L,R,l,mid,x,num<<1);
        if(mid<R)
            addY(L,R,mid+1,r,x,num<<1|1);
        pushup(num);
    }
    void changePos(int l,int r,int pos,ll x,int num)
    {
        if(l==r)
        {
            mlr[num]=x*tl[num]%mod*tr[num]%mod;
            ml[num]=x*tl[num]%mod;
            mr[num]=x*tr[num]%mod;
            m[num]=x;
            return;
        }
        pushdown(num,l,r);
        int mid=(l+r)>>1;
        if(pos<=mid)
            changePos(l,mid,pos,x,num<<1);
        else
            changePos(mid+1,r,pos,x,num<<1|1);
        pushup(num);
    }
    inline void change0(int pos)
    {
        assert(1<=pos&&pos<=n);
        if(ok[pos]==0)
            return;
        addX(pos,n,1,n,-bL[pos],1);
        addY(1,pos,1,n,-bR[pos],1);
        changePos(1,n,pos,0,1);
        ok[pos]=0;
    }
    inline void change1(int pos)
    {
        assert(1<=pos&&pos<=n);
        if(ok[pos]==1)
            return;
        addX(pos,n,1,n,bL[pos],1);
        addY(1,pos,1,n,bR[pos],1);
        changePos(1,n,pos,aM[pos],1);
        ok[pos]=1;
    }
}T[maxn];
int n,tot,a[maxn],tmp[maxn];
namespace BIT
{
    ll t[maxn];
    inline int lowbit(int x)
    {
        return x&(-x);
    }
    inline void add(int x,int y)
    {
        while(x<=n)
        {
            t[x]+=y;
            x+=lowbit(x);
        }
    }
    inline ll ask(int x)
    {
        ll s=0;
        while(x)
        {
            s+=t[x];
            x-=lowbit(x);
        }
        return s;
    }
    inline void clear()
    {
        memset(t,0,sizeof(t));
    }
}
int where[maxn];
ll bM[maxn],bL[maxn],bR[maxn];
vector<int>waitL[maxn],waitR[maxn],P[maxn];
inline void init()
{
    sort(tmp+1,tmp+tot+1);
    tot=unique(tmp+1,tmp+tot+1)-tmp-1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        a[i]=lower_bound(tmp+1,tmp+tot+1,a[i])-tmp;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        bL[i]=BIT::ask(a[i]);
        BIT::add(a[i],1);
    }
    BIT::clear();
    for(int i=n;i>=1;--i)
    {
        bR[i]=BIT::ask(a[i]);
        BIT::add(a[i],1);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        bM[i]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        waitL[a[i]].push_back(bL[i]);
        waitR[a[i]].push_back(bR[i]);
        P[a[i]].push_back(i);
    }
    for(int i=1;i<=tot;++i)
    {
        int m=waitL[i].size();
        for(int j=1;j<=m;++j)
        {
            bL[j]=waitL[i][j-1],bR[j]=waitR[i][j-1];
            where[P[i][j-1]]=j;
        }
        T[i].init(m,bM,bL,bR);
    }
}
inline void solve()
{
    int q=read();
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=tot;++i)
        ans=(ans+T[i].mlr[1])%mod;
    while(q--)
    {
        int type=read(),pos=read();
        if(type==1)
        {
            ll x=T[a[pos]].mlr[1];
            T[a[pos]].change0(where[pos]);
            ll y=T[a[pos]].mlr[1];
            ans=(ans-x+y)%mod;
        }
        else
        {
            ll x=T[a[pos]].mlr[1];
            T[a[pos]].change1(where[pos]);
            ll y=T[a[pos]].mlr[1];
            ans=(ans-x+y)%mod;
        }
        write((ans%mod+mod)%mod);
    }
}
int main()
{
    freopen("count2.in","r",stdin);
    freopen("count2.out","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(false);
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        a[i]=read();
        tmp[++tot]=a[i];
    }
    init();
    solve();
    return 0;
}

---

第三题乍看没有任何思路，但某些部分分启示我们每个点出边的选取有“独立性”。在不到5min的观察后，便获得了结论。 这里还要感谢czy给我莫大的帮助！（因为他一直在写这道题，虽然最后挂了）

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef long long int ll;
const int maxn=5E5+5;
int n,a[maxn],b[maxn],deg[maxn];
int p[maxn],EE[maxn][2];
ll fac[maxn];
map<ll,bool>vis;
inline int read()
{
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))ch=getchar();
    int s=ch-'0';ch=getchar();
    while(isdigit(ch)){s=s*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return s;
}
inline void init()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
}
namespace work0
{
    inline void main()
    {
        ll s=1;
        for(int i=1;i<=n;++i)
            s=s*fac[deg[i]]%mod;
        cout<<s<<endl;
    }
}
namespace work1
{
    int size,head[maxn];
    struct edge
    {
        int to,next;
    }E[maxn*2];
    inline void add(int u,int v)
    {
        E[++size].to=v;
        E[size].next=head[u];
        head[u]=size;
    }
    int fa[maxn],dep[maxn];
    inline void get(int u,int v)
    {
        while(u!=v)
        {
            if(dep[u]<dep[v])
                swap(u,v);
            --deg[u];
            u=fa[u];
        }
        --deg[u];
    }
    void dfs(int u,int F,int d)
    {
        fa[u]=F;
        dep[u]=d;
        for(int i=head[u];i;i=E[i].next)
        {
            int v=E[i].to;
            if(v==F)
                continue;
            dfs(v,u,d+1);
        }
    }
    inline void main()
    {
        for(int i=1;i<=n-1;++i)
            add(EE[i][0],EE[i][1]),add(EE[i][1],EE[i][0]);
        dfs(1,0,0);
        for(int i=1;i<=n;++i)
            if(a[i]!=0)
                get(i,a[i]);
        ll s=1;
        for(int i=1;i<=n;++i)
            if(deg[i]>=0)
                s=s*fac[deg[i]]%mod;
        cout<<s<<endl;
    }
}
int main()
{
    freopen("count3.in","r",stdin);
    freopen("count3.out","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(false);
    n=read();
    init();
    for(int i=1;i<=n-1;++i)
    {
        EE[i][0]=read(),EE[i][1]=read();
        ++deg[EE[i][0]];
        ++deg[EE[i][1]];
    }
    for(int i=1;i<=n-1;++i)
        p[i]=i;
    bool f=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        a[i]=read();
        if(a[i]!=0)
            f=0;
    }
    if(f)
    {
        work0::main();
        return 0;
    }
    if(n>11)
    {
        work1::main();
        return 0;
    }
    int ans=0;
    do
    {
        for(int i=1;i<=n;++i)
            b[i]=i;
        for(int i=1;i<=n-1;++i)
            swap(b[EE[p[i]][0]],b[EE[p[i]][1]]);
        ll s=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)
            if(a[i]!=0&&a[i]!=b[i])
                goto end;
        for(int i=1;i<=n;++i)
            s=s*10+b[i];
        if(!vis[s])
        {
            ++ans;
            vis[s]=1;
        }
        end:;
    }while(next_permutation(p+1,p+n));
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}