例子：解$A_n=A_{n-1}+3B_{n-1},B_n=2A_{n-1}+2B_{n-1}$的通项，$A_0,B_0$为指定常数。
构造矩阵$M=egin{bmatrix}a_0&b_0\c_0&d_0end{bmatrix}=egin{bmatrix}1&3\2&2end{bmatrix}$，使得$egin{bmatrix}1&3\2&2end{bmatrix}cdotegin{bmatrix}A_{n-1}\B_{n-1}end{bmatrix}=egin{bmatrix}A_n\B_nend{bmatrix}$。如果我们能知道$M_k$中的每一项系数，就能轻松解得$A_n$和$B_n$。因此，我们需要寻找$M$的特征多项式。
显然$M$的特征多项式为$P(lambda)=lambda^2-3lambda-4$，即$M^n=3M^{n-1}+4M^{n-2}$，两特征根为$lambda_1=-1,lambda_2=4$，对应到M中的每一个系数，有
$egin{cases}a_n=3a_{n-1}+4a_{n-2}\b_n=3b_{n-1}+4b_{n-2}\c_n=3c_{n-1}+4c_{n-2}\d_n=3d_{n-1}+4d_{n-2}end{cases}$
取$M^0=egin{bmatrix}a_0=1&b_0=3\c_0=2&d_0=2end{bmatrix},M^1=egin{bmatrix}a_1=7&b_1=9\c_1=6&d_1=10end{bmatrix}$，不难得到（以算$A_n$通项为例）
$egin{cases}a_n=-frac{3}{5}cdot(-1)^{n-1}+frac{8}{5}cdot4^n\b_n=frac{3}{5}cdot(-1)^{n-1}+frac{12}{5}cdot4^nend{cases}$
于是，$A_n=(-frac{3}{5}cdot(-1)^{n-1}+frac{8}{5}cdot4^n)A_0+(frac{3}{5}cdot(-1)^{n-1}+frac{12}{5}cdot4^n)B_0$
验证：$A_3=25A_0+39B_0$