题意
有标有数字为(1sim 9)的卡片各(a_1,a_2cdots a_9)张，还有标有乘号的卡片(m)张。从中取出(n)张按任意顺序排列，取出两个乘号相邻和乘法在边界上的非法式子，剩下的都是合法式子。求所有合法式子的方案的值的和。两张数字相同的卡片是不同的，两张乘号也是不同的。答案模({10}^9+7)
(nleq 1000,a_ileq {10}^8,mleq{10}^8)
做法
对于((...) imes (...) imes... imes(...))，考虑每个括号内的一个位，然后算系数
令(f_{i,j})为前(i)位，放(j)个( imes)，所有系数和
[f_{i,j}=f_{i-1,j} imes 10+sumlimits_{k=1}^{i-2}f_{k,j-1}
]
令(g_{i,j})为前(i)个数字，选了j个代表数字（就是位）的乘积的和
[g_{i,j}=sum_{k=0}^{a_i}g_{i-1,k-j} imes i^k imes inom{j}{k} imes a_i^underline{k}
]
令(ans_i)为总共填了(i)个( imes)的答案和
[ans_i=g_{9,i+1} imes f_{n,i} imes {(sum a-i-1)}^underline{n-i-(i+1)} imes m^underline{i}
]