loj6391

题意

(n)个点的树，初始有(a,b)两点是黑色的，其他是白色的，每次可以将某个与黑色节点相邻的某个白色节点染黑。一个方案不同当且仅当某一回合染黑的点不同。求将所有点染黑的方案数。对(998244353)取模。(n,a,ble 234567)。(8s)

做法

考虑若(a=b)，将(a)置为根节点
令(f_i)为若(i)节点为黑色，将(i)子树内的点全部染黑的方案数。令(s_i)为(i)子树大小
显然有：(f_i=(s_i-1)!prodlimits_{vin son_i}frac{f_v}{s_v!}Longrightarrow frac{f_i}{s_i!}=frac{1}{s_i}prodlimits_{vin son_i}frac{f_v}{s_v!})。根据归纳显然有(ans=f_1=frac{n!}{prodlimits_{i=1}^n s_i})

考虑(a eq b)，建一个虚点(s)，连接(a-b)，就形成了一棵基环树
题目等价于开始只有(s)一个黑点，然后染色。
枚举基环上的一条边，然后断开，方案数之和显然是原答案的两倍

考虑断开后，答案为(frac{(n+1)!}{(prodlimits_{i=1}^n s_i)(n+1)}=frac{n!}{prodlimits_{i=1}^n s_i})，不需要考虑虚点
(s)的变化实际只出现在基环上的点(a_1,a_2,cdots ,a_m)，令(s_i)为i节点不在基环上的子树大小，令(x_i=sumlimits_{k=1}^i s_i(s_0=0))
若将(j,j+1)断开，则子树乘积为(|x_j-x_0| imes |x_j-x_1| imes cdots imes |x_j-x_{j-1}| imes |x_j-x_{j+1}| imescdots imes |x_j-x_{m}|=prodlimits_{i=0,i eq j}^m|x_j-x_i|=(-1)^{m-j}prodlimits_{i=0,i eq j}^m(x_j-x_i))

构造多项式(f(x)=sumlimits_{j=0}^m prodlimits_{i=0,i eq j}^m(x-x_i))，满足将(f(x_j)=prodlimits_{i=0,i eq j}^m(x_j-x_i))，发现(f(x)=(prodlimits_{i=0}^m (x-x_i))')

然后分治fft+多点求值即可

题外话

好久没打多项式了...码力好差...多项式求逆是(mod~x^{n-1+m-1+m-1+1})的