杂题

题意

令无向图中连通块为树的个数为(x)，其权值为(x^k)。给定(n,k)，求所有(n)个点的无向图的权值和

做法

(x^k=sum S_{k,i}{xchoose i}i!)
显然(i)只有不大于(k)时才有贡献
那这个组合意义可以理解为，某张图有(x)个树的连通块，选择所有(i)个联通树，贡献为(S_{k,i}i!)((ile k))
令(f_{i,j})为(j)个点形成(j)个联通树的个数，(hat{F_i(x)}=sumlimits_{j}f_{i,j}frac{x^j}{j!})。令(G(x)=sumlimits_{i}i^{i-2}frac{x^i}{(i-1)!})
(f_{i+1,j}=sumlimits_{l=1}^j f_{i,j-l}l^{l-2}{j-1choose l-1})

(ans=sumsum {nchoose j} imes f_{i,j} imes S_{k,i} imes i! imes 2^{{n-jchoose 2}})