jzoj5983

题意

给定(n,m,k)，求正(n)多边形中选(m)个点构成的凸包恰好有(k)个锐角的方案数。

做法

结论1：若(k>4)，则无解

证明：
凸多边形外角和等于(360^{o})

结论2：若(k=3)，仅有可能(m=3)的时候可能有解

证明：
(k=3)时，若(m>3)，若有解，则会有两个锐角不相邻，选择一个，然后其底边的两端点与另一个三角形顶点连接。
显然这个四边形的对角和小于(180^{o})，但正(n)多边形是能内接在圆内的，四边形的对角和为(180^{o})

结论3：若选择(3)个点构成的三角形为钝角三角形，则一定存在某条直径是将三个点划分到同一侧的，且不会存在两个点恰好为直径的两端点

证明：
若所有直径三个点都不同侧，必然存在某条直径使得是将钝角顶点单独存在于一侧，根据直径与直角的那个性质结合调整法显然是不合理的

结论4：直径最多将正n多边形的(leftlfloorfrac{n}{2} ight floor+1)个点划分到同一侧

显然

• (k=3,m=1)，根据结论1、结论2****与结论3，有如下做法
  枚举某一点，在枚举另一点，显然两点间较短的圆弧上的所有点都能与其形成钝角三角形
  即一个点作为锐角的贡献为：(sumlimits_{i=1}^{leftlfloorfrac{n}{2} ight floor-1}i)。然后还有些细节，就不讲了

• (k=2)，根据结论3，易得两个锐角是相邻的，有如下做法
  假设顶点为(A,B)，如下图，显然剩下选择的点只能存在于紫色部分，且不能两个紫色均有点
  若(m=3)，显然不能选上面的
  然后就是二项式系数上指标求和
  

• (k=1)，根据结论3，令锐角为A，B与D的距离是被半圆限制的，为使得B与D不为锐角，还得存在两个点C与E分别存在于两个半圆
  可以这么做：枚举C与E中间的点个数，然后推一下式子