题意
给定(n,m,k),求正(n)多边形中选(m)个点构成的凸包恰好有(k)个锐角的方案数。
做法
结论1:若(k>4),则无解
证明:
凸多边形外角和等于(360^{o})
结论2:若(k=3),仅有可能(m=3)的时候可能有解
证明:
(k=3)时,若(m>3),若有解,则会有两个锐角不相邻,选择一个,然后其底边的两端点与另一个三角形顶点连接。
显然这个四边形的对角和小于(180^{o}),但正(n)多边形是能内接在圆内的,四边形的对角和为(180^{o})
结论3:若选择(3)个点构成的三角形为钝角三角形,则一定存在某条直径是将三个点划分到同一侧的,且不会存在两个点恰好为直径的两端点
证明:
若所有直径三个点都不同侧,必然存在某条直径使得是将钝角顶点单独存在于一侧,根据直径与直角的那个性质结合调整法显然是不合理的
结论4:直径最多将正n多边形的(leftlfloorfrac{n}{2} ight floor+1)个点划分到同一侧
显然
-
(k=3,m=1),根据结论1、结论2****与结论3,有如下做法
枚举某一点,在枚举另一点,显然两点间较短的圆弧上的所有点都能与其形成钝角三角形
即一个点作为锐角的贡献为:(sumlimits_{i=1}^{leftlfloorfrac{n}{2} ight floor-1}i)。然后还有些细节,就不讲了 -
(k=2),根据结论3,易得两个锐角是相邻的,有如下做法
假设顶点为(A,B),如下图,显然剩下选择的点只能存在于紫色部分,且不能两个紫色均有点
若(m=3),显然不能选上面的
然后就是二项式系数上指标求和
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(k=1),根据结论3,令锐角为A,B与D的距离是被半圆限制的,为使得B与D不为锐角,还得存在两个点C与E分别存在于两个半圆
可以这么做:枚举C与E中间的点个数,然后推一下式子