FJWC2020

挑一些没做出来的讲讲

D1T2

题意：(n)点(m)条边的图，给边定向，使得存在点使得(1)和(2)能走到该点
(nle 15,mle {nchoose 2})

求不存在点使得(1)和(2)同时走到该点
枚举集合(A,B)，表示(1)能到达的集合，(2)能到达的集合

• (Acap B=emptyset)
• 不存在边((u,v))，(uin A,vin B)
• ((u,v)in E,u otin A,v otin B)，该边怎么定向都无所谓
• ((u,v)in E,uin A,v otin B)，该边方向确定

然后单独处理(A,B)内的，令(f_{1/2,S})为(1)到达点集为(S)的方案数
(O(3^n))

D1T3

题意：给定长度为(n)的字符串，找到最大的(m)，使得存在(1le l_1le r_1le l_2le r_2le cdotsle l_mle r_m)，(s_{l_{i+1},r_{i+1}})是(s_{l_i,r_i})的严格子串

结论1：存在最优解，使得子串长度每次减小(1)

令(f_{i})为以(i)开头的子串作为第一个，最大的(m)

结论2：(f_{i}le f_{i+1}+1)

证明：
相当于证明(f_{i+1}le f_{i}-1)，这很显然

那么每次判断初始化(f_i)为(f_{i+1}+1)，然后一步步判断
考虑如何判断(f_i)大于等于(len)

• (jin[i+len,n])
• (max(lcp(suf_i,suf_j),lcp(suf_{i+1},suf_j))ge len-1)
• (f_jge len-1)

条件2的(j)分为可以二分出来，然后就是(jin[i+len,n],rank_jin[l,r])，是否存在(f_jge len-1)，可以用线段树维护

D2T1

题意：有一个长度为 (n) 的数列，原先每一个位置都是 (0)。每一次，我们可以给两个相邻的位置分别 加一 和 加二 。问最少需要操作多少次，才可以使得对于 (1≤i≤n)，第 (i) 个位置上的数大于等于 (h_i)

看不懂题解...

D3T2

这题很有意思啊

题意：给定(n) 个点 (m) 条边的无向图，求有多少个非空点集的导出子图连通。
((x,y)in E) 满足 (|x−y|≤12)。
答案对 (2) 取模，(1≤n≤50)

考虑对连通块黑白染色，那么对于一个子图，染色的方案数为(2^{连通块个数})，该为对(4)取模，若最后答案为(2)则为(1)，否则为(0)
状压点的颜色。(O(3^{12}n))

D4T3

题意：给定一棵 (n) 个点的有边权的树，(q) 次修改某一条边的边权，要回答在初始局面和每次修改后，有多少条无向路径 ((u,v)) 满足路径上所有边的 gcd 恰为 (1)
(nle 10^{5},qle 100,w,xle 10^6)

先考虑(q=0)
令(f(i))为路径为(i)倍数的个数，(ans=sum mu(i)f(i))
由于(wle 10^6)，(w)最多质因子个数为(7)，每条边的有效约数为(2^kle 128)，用并查集做(O(2^k nalpha(n)))

考虑(qge 1)，对于((u,v,w)in E)，考虑撤销((u,v,w))的效果，再添加((u,v,w'))的效果
处理(u)、(v)的子树，令(g(i))为(i)到(u/v)边权的gcd，(O(nlogw))。再合并，(O(sqrt{w}cdot sqrt{w}))

(O(2^k nalpha(n)+qcdot (nlogw+sigma(w)_0cdot sigma(w)_0)))

D5T1

给定一个长度为 (n) 的序列 (a_1,a_2,⋯,a_n) ，(a_i)为在 ([l_i,r_i]) 中独立均匀随机生成的实数，求这个序列逆序对个数的期望值

D5T3

给定一个 (1) 到 (n) 的排列，你需要把它升序排序。你要进行两个阶段的操作。第一阶段中，每次任选两个相邻元素并进行交换。第二阶段中，每次修改一个位置上的元素。最小化两个阶段操作的总次数，并给出一种总操作次数最小的合法方案。

在第一阶段中，若进行过(i,i+1)交换，则(i)与(i+1)之间连边
对于极大连通块([l,r])，令其逆序对个数为(x)
若(xge r-l+1)，则可以通过第二阶段直接搞，故在最优中不会出现

因为对于一个连通块([l,r])，其至少有(r-l)条边，故(xge r-l)。
所以所有的极大联通块，其逆序对个数为(r-l)

故对于区间([l,r])，其可能成为极大连通块的条件为

• ([l,r])是(a_l,cdots,a_r)的值域
• (a_l,cdots ,a_r)的逆序对个数为(r-l)

若([l_1,r][l_2,r](l_1<l_2))均满足条件，则选择([l_2,r])不会劣于([l_1,r])。故我们会选择以(r)为右端点的最大合法(l)

根据对极大连通块的定义，最大的合法(l)只需要考虑最大满足条件(1)的
考虑第一个条件的充要条件

• (max(a_l,cdots,a_r)=r)
• (sumlimits_{i=l}^r (a_i-i)=0)：前缀和相等

考虑如何快速求([l,r])的逆序对，由于(a_l,cdots,a_r)的值域是([l,r])，(a_1,cdots,a_{l-1})中的任意数，要么全部大于([l,r])，要么全部小于
令(sum_i)为(a_1,cdots,a_i)的逆序对个数，(f(l,r)=sum_r-sum_{l-1}-(r-l+1)sumlimits_{i=1}^{l-1}[a_i>l])

然后随便搞个dp