杂题

题意

有一个贪心求最大子段和的方法，将负数位置去掉，比较各段和的最大值
现给出长度为(2n-1)的序列，对于奇数位置，已经有数了，你需要在偶数位置填入(in[-K,K])的整数，求正确答案与贪心答案最大差
(nle 5000,Kle 10^5)

做法

结论1：每个位置要么填(-1)，要么填(K)

对于已有数已经为负的情况，是可以分割的。考虑平凡情况：已有数均(ge 0)
令(f_{k,i})为前(i)个位置，填了(k)个(-1)，贪心答案的最小值
(f_{k,i}=min{max(f_{k-1,j},sum_i-sum_j)})

结论2：固定(k,i)，存在分界点，使得在([1,alpha])最大值为(sum_i-sum_j)，((alpha,i))最大值为(f_{k-1,j})

固定(k)，令(g_i)为(f_{k,i})的分界点
结论3：(g_i)是不降的

证明：
满足最大值为(sum_i-sum_j)的条件为(f_{k-1,j}le sum_i-sum_jLongrightarrow sum_ige f_{k-1,j}+sum_j)
由于(sum_i)是不降的，故分界点也不降

于是可以做到(O(n^2))