2020牛客NOIP赛前集训营-提高组（第四场）

C

有(f_n^2=(f_{n-1}^2+f_{n-2}^1),f_{n-3}^2=(f_{n-1}^2-f_{n-2}^2))
令(g_n=f_n^2)，很自然的有：(g_n=2g_{n-1}+2g_{n-2}-g_{n-3})

将递推式写成矩阵的形式(A)，令(vec{g}_n)为((g_n,g_{n-1},g_{n-2})^T)，可以逆推出(vec{g}_0)
把(vec{g_n})表示成(A^nvec{g_0})
将题目中的(f(S)=sumlimits_{Tsubseteq S}g(sumlimits_{sin T}s))也写成列向量的形式：(vec{f}(S)=sumlimits_{Tsubseteq S}vec{g}(sumlimits_{uin T}u))
(vec{f}(Scup a)=vec{f}(S)+sumlimits_{Tsubseteq S}vec{g}(sumlimits_{uin T}u+a)=vec{f}(S)+sumlimits_{Tsubseteq S}A^avec{g}(sumlimits_{uin T}u)=(I+A^a)vec{f}(S))
故(vec{f}(S)=prodlimits_{ain S}(I+A^a))

D

结论1：若(len_vequiv 0~mod~len_w)，(vw)的最短周期为(len_w)

证明显然

推论：若(len_vequiv 0~mod~len_w)，(v)会变成：(vw,vww,vwww,cdots)

结论2：若(len_v otequiv 0~mod~len_w)，(vw)的最短周期为(len_v)

证明：
显然，(len_v)是(vw)的周期，下证不存在比(len_v)还短的周期
假设存在(len_x<len_v)，(len_x)为(vw)的周期
(len_xge len_w)（(len_w)是(v)最短周期）
若(len_vequiv len_x~mod~len_w)
((len_x,len_w))是(len_v)的周期（Weak Periodicity Lemma），由于(len_v otequiv 0~mod~len_w)，故((len_x,len_w)<len_w)，与(len_w)为(v)最短周期矛盾
若(len_v otequiv len_x~mod~len_w)
((len_w,(len_v-len_x)\% len_w))是(len_w)的周期（由于(len_x)是(vw)的周期，从(v_{(len_v-len_x)\%len_w+1})开始的一段(len_w)等于(w)），故也是(len_v)的周期，其小于(len_w)，与(len_w)为(v)最短周期矛盾。

推论：若(len_v otequiv 0~mod~len_w)，(v)会变成：(vw,vwv,vwvvw)。即(f_0=v,f_1=vw,f_i=f_{i-1}+f_{i-2})