一类排列问题

问题1

题意：
给定(n)，求有多少个(n)排列，满足相邻两项绝对值大于(1)

将位置看作点，对于点(i,i+1)，将(|a_i-a_{i+1}|)看作边
考虑容斥，钦定边集不合法

考虑单个连通块的多项式(f(x)=x-2x^2+2x^3-2x^4+cdots=xfrac{1-x}{1+x})

对于点数大于等于(2)的，有正反两种排列顺序

枚举连通块的个数
(F(x)=sumlimits_{i=0}^{infty} i!f(x)^i)

对于一种分段的方法，确定每段最小值的顺序，即可唯一得到排列

那么答案为([x^n]F(x))

令(g(x)=sumlimits_{i=0}^{infty} i!x^i)
注意到(x^2frac{dg(x)}{dx}+(x-1)g(x)+1=0)

[egin{aligned} &frac{dg(x)}{dx}=frac{(1-x)g(x)-1}{x^2}\ &frac{dg(f(x))}{df(x)}=frac{(1-f(x))g(f(x))-1}{f(x)^2}\ &frac{dg(f(x))}{dx}=frac{df(x)}{dx}cdot frac{(1-f(x))g(f(x))-1}{f(x)^2}\ end{aligned}]

将(g(f(x))=F(x),f(x)=xfrac{1-x}{1+x})带进去

[egin{aligned} &frac{dF(x)}{dx}=frac{1-2x-x^2}{x^2-2x^3+x^4}(frac{1+x^2}{1+x}F(x)-1)\ &(x^2-x^3-x^4+x^5)frac{dF(x)}{dx}=(1-2x-2x^3-x^4)F(x)+x^3+3x^2+x-1 end{aligned}]

通过该式容易得到线性递推

问题2

题意：
给定(n)、(m)，求有多少个(n)排列，满足不存在长度超过(m)的相邻两项绝对值等于(1)

定义：若区间内相邻两项绝对值等于(1)，则称其为连续区间

求不存在长度为(m+1)的连续区间，钦定有(x)个(m+1)的连续区间（可以相交），容斥系数为((-1)^{x})
考虑钦定连续区间后，排列的方案数

观察：若两个连续区间有交，则区间并也为连续区间

将有交的连续区间合并
令(y)为连续区间的个数（合并后的，这里长度不一定为(m+1)），(z)为未被任意区间包含的位置个数
方案数为((-1)^{x}(y+z)!2^y)

以下区间均指合并后的区间

记(f(i,j,k))表示把前(i)个点分成(j)个区间和(k)个无限制点的容斥系数和，
(g(i,j,k))表示在上述条件下(i)作为区间末尾的容斥系数和

[egin{aligned} &g(i,j,k)=-sumlimits_{p=i-m}^{i-1}g(p,j,k)-f(i-m-1,j-1,k-1)\ &f(i,j,k)=g(i,j,k)+f(i-1,j,k-1)\ end{aligned}]

答案为

[sumlimits_{j=0}^nsumlimits_{k=0}^n f(n,j,k)cdot 2^jcdot k! ]

发现(j)这一维没啥用

[egin{aligned} F(i,k)=sumlimits_{j=0}^n f(i,j,k)cdot 2^j\ G(i,k)=sumlimits_{j=0}^n g(i,j,k)cdot 2^j\ end{aligned}]

[egin{aligned} &G(i,k)=-sumlimits_{p=i-m}^{i-1}G(p,k)-2cdot F(i-m-1,k-1)\ &F(i,k)=G(i,k)+F(i-1,k-1)\ end{aligned}]

答案为

[sumlimits_{k=0}^n F(n,k)cdot k! ]

问题3

定义连续区间为相邻两项差为(1)，给定(n,k)，求有多少个(n)排列恰好有(k+1)段极大连续区间

考虑容斥
令(f_i)为恰好有(i)段极大连续区间的方案数
令(g_i)为钦定(i)段的方案数（即钦定断点，段可能不为极大连续区间）

在求得({g_i})后，通过如下方式还原({f_i})
为方便表示，下面将(f,g)数组整体左移一位，此时表示至多(i)个满足(|a_j-a_{j+1}|>1)的位置
那么有(g_i=sumlimits_{jle i}{n-1-jchoose i-j}f_j)
这不是标准的二项式反演形式，不过我们可以改写成：(g_icdot i!cdot (n-1-i)!=sumlimits_{jle i}{ichoose j}f_jcdot j!cdot (n-1-j)!)
令(G_i=g_icdot i!cdot (n-1-i)!,F_i=f_icdot i!cdot (n-1-i)!)
({G_i},{F_i})间是标准的二项式反演形式

考虑求({g_i})
(g_k=k^k=k^k)
将括号拆开能化成卷积形式