概率期望问题总结(2)

概率期望问题总结(2)

前言

之前写的那一篇在这里：戳戳!
今天叉姐来CJ讲课，内容为期望概率问题......
然后就有了这一篇博客，STO 叉姐 ORZ ！！！

递推式思想(Dag思想)

例题：
有一个(m)个面的骰子，问：
( 1 ) 连续扔出n次相同的就结束，问期望次数。
( 2 ) 连续扔出n次不同的就结束，问期望次数。
(n,m leq 10^6)

显然逆推比较好设终止状态的期望((f_n=0))，所以逆推。
以第一问为例。
设(f_i)表示已经连续扔出了(i)个相同的，期望还需要扔多少步。
转移：

[f_i = frac{1}{m}f_{i+1} + frac{m-1}{m}f_1 + 1 ]

按照叉姐的说法： 把状态看成一个图，那么每个点对应的向外连边。
同理第二问：
设(g_i)表示已经连续扔出了(i)个不相同的，期望剩余步数。
转移：

[g_i = frac{m-i}{m} g_{i+1} + sum_{k=1}^i g_k + 1 ]

很有道理的样子.....但是怎么算这个式子呢？

方程思想

以第一问为例：(f_i = frac{1}{m}f_{i+1} + frac{m-1}{m}f_1 + 1)
带入(i = 1) , 有(f_1 = frac{1}{m}f_2 + frac{m-1}{m}f_1 + 1)
所以(f_2)可以表示为(f_2 = af_1 + b)
显然(f_3)也可以类似表示为(f_3 = af_2+b = a'f_1 + b')
所以(f_2) ~ (f_n)都可以表示为(af_1 + b)。
而已知(f_n) = 0 ， 所以就可以把(f_1)给直接解出来了。
而显然(f_0 = f_1 + 1)，因为不管扔到多少，(f_0)都可以转移到(f_1)。
所以答案(f_0)也就解除来了。

差分思想

咳咳......据说上面这种做法会爆精度啊，怎么办呢？
(f_i = frac{1}{m}f_{i+1} + frac{m-1}{m}f_1 + 1)
类似错位相减，
(f_{i+1} = frac{1}{m}f_{i+2} + frac{m-1}{m}f_1 + 1)
然后上下相减：
(f_{i+1} - f_i = frac{1}{m}(f_{i+2} - f_{i+1}))
而(f_1 - f_0 = 1)
嗯，我们好像知道了任意两个相邻的(f)之间的差值了啊。
所以$f_0 = f_n + sum_{i=0}^{n-1} frac{1}{m^i} $，直接算即可。
类似的，第二问可以推出：

[g_0 = g_n + 1 + sum_{i=0}^{n-2} prod_{j=0}^i frac{m}{m-1-j} ]

这个还是蛮重要的，很多题目都要用到。

抽牌小公式

一个小公式：
如果有(n)张牌，抽出第(i)张牌的概率为(p_i)，
那么，当规则为抽到第(i)张牌就停止时，期望步数为(frac{1}{p_i})

(Min)-(Max)容斥

例题
有(n)种卡片，抽到第(i)种的概率为(p_i)，求集齐所有卡片的期望步数。
(nleq 20)

当时讲课时我来了一句：这不是傻逼题吗？状压再移项即可。
然后叉姐来了一句骚话：你能不开数组A掉这题吗？
接着(laofu)接了一句：还是要开一个大小为20的数组存(p)的吧....
现场一篇死寂.....
正经一点，介绍以下(Min)-(Max)容斥。
公式先摆出来：

[E(max{S}) = sum (-1)^{|S'|+1} E(min{S'}) , S' in S ]

是不是看起来很NB啊。
其中：
(max{S})表示(S)集合中最晚出现的元素。
(min{S})表示(S)集合中最早出现的元素。
(E)表示期望要走多少步。
它的优点是把求(Max)(一般不好求) 变为了求(Min)(一般贼水)。
这题呢？
本题的目标是求(E(max{全集}))
故(E(min{S'}))表示全集的某个子集中出现任意一个元素的期望步数。
例如：(min{x_1,x_2,x_3})的概率为( p_{x_1} + p_{x_2} + p_{x_3})。
还记得抽牌小公式吗？所以(E(min{x_1,x_2,x_3}) = frac{1}{p_{x_1} + p_{x_2} + p_{x_3}})。
然后直接套公式容斥一下即可。

赌徒输光问题(Gambler Ruin)

例题
在数轴上有一个点(a)，每一步有(p)的概率+(1),((1)-(p))的概率-(1)。
现在问在到达0之前到达(a+b)点的概率(即到达0点就gg了)。

是不是很像两个人在赌钱，看谁先让对手输光？
怎么解呢？ 先列出递推式，设(f_i)表示现在在(i)点且最终达成目标的概率：

[f_i =pf_{i+1} +(1-p)f_{i-1} ]

化式子：

[[ p +(1-p) ]f_i = pf_{i+1} + (1-p)f_{i-1} ]

移项：

[p(f_{i+1}-f_i) = (1-p)(f_{i} - f_{i-1}) ]

所以：

[f_{i+1} - f_i = frac{1-p}{p} (f_i - f_{i-1}) ]

其中(f_0 = 0) , (f_{a+b} = 1)。
嗯，设(f_1-f_0 = delta) , 那么可以依次递推出(f_2-f_1)、(f_3-f_2).....
最后整理一下可以得到：

[f_a = frac{f_a-f_0}{f_{a+b}-f_0} = frac{1-(frac{1-p}{p})^a}{1-(frac{1-p}{p})^{a+b}} ]

当然这是(p!=frac{1}{2})的情况。
当(p = frac{1}{2})时，不做等比数列求和，直接带入原式可得：(f_a = frac{a}{a+b})

陷阱问题

从刚才的赌徒输光问题衍生出来的：
注意到(p = frac{1}{2})的时候其实是很值得玩味的。
我们可以把它扩展一下：
对于一个点(a)，左侧距离它(d_{left})的地方有一个陷阱(L)，右侧距离(d_{right})的地方有一个陷阱(R)。
掉入某个陷阱后就出不来了，每一时刻点(a)等概率的+1或-1。
那么(a)点掉进陷阱(L)的概率(E(L))与掉进(R)的概率(E(R))为：

[frac{E(L)}{E(R)} = frac{d_{right}}{d_{left}} , E(L)+E(R)=1 ]

不是特别难推，更赌徒输光一样的差分搞一搞即可。

无向图公式

给定一个无向图(保证不为二分图)，
初始在某个点放一个硬币，每一时刻硬币等概率向某个方向移动或不动。
那么走了无穷多步后，最终停在(u)的概率为：

[pi(u) = frac{degree(u) + 1}{|V| +2|E|} ]

如果是二分图？
如果初始放点位置是随机的，那么也满足这个公式，否则不满足。