平衡二叉树（AVL树）

1.二叉排序树的时候，树的结构是非常依赖无序序列的顺序，这样会出现极端的情况。

【如图1】：

　　

　　这样的一颗二叉排序树就是一颗比较极端的情况。我们在查找时候，效率依赖树的高度，所以不希望这样极端情况出现，而是希望元素比较均匀的分布在根节点两端。

2.什么是二叉平衡树？　　

　　问题提出：

　　　　能不能有一种方法，使得我们的二叉排序树不依赖无序序列的顺序，也能使得我们得到的二叉排序树是比较均匀的分布。

　　引入：

　　平衡二叉树（Self-Balancing Binary Search Tree 或 Height-Balanced Binary Search Tree），是一种特殊的二叉排序树，其中每一个结点的左子树和右子树的高度差至多等于1.

　　这里的平衡从名字中可以看出，Height-Balanced是高度平衡。

　　它或者是一颗空树，或者是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1.

　　若将二叉树上的结点的平衡因子BF（Balance Factor）定义为该节点的左子树的深度减去它的右子树的深度，则平衡二叉树上所有结点的平衡因子只可能是-1、0、1。否则就不是平衡二叉树。

　　上图图1中，就不是平衡二叉树。

　　以图1来看看各个结点的平衡因子。

【如下图2】：

　　

　　如何构成平衡二叉树？

　　（1）当最小不平衡树的根结点的平衡因子BF是大于1时，就右旋

　　（2）当最小不平衡树的根结点的平衡因子BF是小于1时，就左旋

　　（3）插入结点后，最小不平衡子树的BF与它的子树的BF符号相反时，就需要对结点先进行一次旋转以使得符号相同后，再反向旋转一次才能够完成平衡操作。

　　

　　

　　要能找到最小不平衡树，4是插入结点，与2结点平衡因子绝对值大于1

　　

　　注意此处的结点2的变化

　　

　　

　　注意9结点的位置出现了BF=1，与它的子树BF相反

　　

可以贴代码了：

public class BinarySearchTree : IBinaryTree //实现画树接口
{ //成员变量
private Node _head; //头指针
private Node[] path = new Node[32]; //记录访问路径上的结点
private int p; //表示当前访问到的结点在_path上的索引
INode IBinaryTree.Head //显式接口实现
{
get { return (INode)_head; }
}
public bool Add(int value) //添加一个元素
{ //如果是空树，则新结点成为二叉排序树的根
if (_head == null)
{
_head = new Node(value);
_head.BF = 0;
return true;
}
p = 0;
//prev为上一次访问的结点，current为当前访问结点
Node prev = null, current = _head;
while (current != null)
{
path[p++] = current; //将路径上的结点插入数组
//如果插入值已存在，则插入失败
if (current.Data == value)
{
return false;
}
prev = current;
//当插入值小于当前结点，则继续访问左子树，否则访问右子树
current = (value <</SPAN> prev.Data) ? prev.Left : prev.Right;
}
current = new Node(value); //创建新结点
current.BF = 0;
if (value <</SPAN> prev.Data) //如果插入值小于双亲结点的值
{
prev.Left = current; //成为左孩子
}
else //如果插入值大于双亲结点的值
{
prev.Right = current; //成为右孩子
}
path[p] = current; //将新元素插入数组path的最后
//修改插入点至根结点路径上各结点的平衡因子
int bf = 0;
while (p > 0)
{ //bf表示平衡因子的改变量，当新结点插入左子树，则平衡因子+1
//当新结点插入右子树，则平衡因子-1
bf = (value <</SPAN> path[p - 1].Data) ? 1 : -1;
path[--p].BF += bf; //改变当父结点的平衡因子
bf = path[p].BF; //获取当前结点的平衡因子
//判断当前结点平衡因子，如果为0表示该子树已平衡，不需再回溯
//而改变祖先结点平衡因子，此时添加成功，直接返回
if (bf == 0)
{
return true;
}
else if (bf == 2 || bf == -2) //需要旋转的情况
{
RotateSubTree(bf);
return true;
}
}
return true;
}
//删除指定值
public bool Remove(int value)
{
p = -1;
//parent表示双亲结点，node表示当前结点
Node node = _head;
//寻找指定值所在的结点
while (node != null)
{
path[++p] = node;
//如果找到，则调用RemoveNode方法删除结点
if (value == node.Data)
{
RemoveNode(node);//现在p指向被删除结点
return true; //返回true表示删除成功
}
if (value <</SPAN> node.Data)
{ //如果删除值小于当前结点，则向左子树继续寻找
node = node.Left;
}
else
{ //如果删除值大于当前结点，则向右子树继续寻找
node = node.Right;
}
}
return false; //返回false表示删除失败
}
//删除指定结点
private void RemoveNode(Node node)
{
Node tmp = null;
//当被删除结点存在左右子树时
if (node.Left != null && node.Right != null)
{
tmp = node.Left; //获取左子树
path[++p] = tmp;
while (tmp.Right != null) //获取node的中序遍历前驱结点，并存放于tmp中
{ //找到左子树中的最右下结点
tmp = tmp.Right;
path[++p] = tmp;
}
//用中序遍历前驱结点的值代替被删除结点的值
node.Data = tmp.Data;
if (path[p - 1] == node)
{
path[p - 1].Left = tmp.Left;
}
else
{
path[p - 1].Right = tmp.Left;
}
}
else //当只有左子树或右子树或为叶子结点时
{ //首先找到惟一的孩子结点
tmp = node.Left;
if (tmp == null) //如果只有右孩子或没孩子
{
tmp = node.Right;
}
if (p > 0)
{
if (path[p - 1].Left == node)
{ //如果被删结点是左孩子
path[p - 1].Left = tmp;
}
else
{ //如果被删结点是右孩子
path[p - 1].Right = tmp;
}
}
else //当删除的是根结点时
{
_head = tmp;
}
}
//删除完后进行旋转，现在p指向实际被删除的结点
int data = node.Data;
while (p > 0)
{ //bf表示平衡因子的改变量，当删除的是左子树中的结点时，平衡因子-1
//当删除的是右子树的孩子时，平衡因子+1
int bf = (data <= path[p - 1].Data) ? -1 : 1;
path[--p].BF += bf; //改变当父结点的平衡因子
bf = path[p].BF; //获取当前结点的平衡因子
if (bf != 0) //如果bf==0，表明高度降低，继续后上回溯
{
//如果bf为1或-1则说明高度未变，停止回溯，如果为2或-2，则进行旋转
//当旋转后高度不变，则停止回溯
if (bf == 1 || bf == -1 || !RotateSubTree(bf))
{
break;
}
}
}
}
//旋转以root为根的子树，当高度改变，则返回true；高度未变则返回false
private bool RotateSubTree(int bf)
{
bool tallChange = true;
Node root = path[p], newRoot = null;
if (bf == 2) //当平衡因子为2时需要进行旋转操作
{
int leftBF = root.Left.BF;
if (leftBF == -1) //LR型旋转
{
newRoot = LR(root);
}
else if (leftBF == 1)
{
newRoot = LL(root); //LL型旋转
}
else //当旋转根左孩子的bf为0时，只有删除时才会出现
{
newRoot = LL(root);
tallChange = false;
}
}
if (bf == -2) //当平衡因子为-2时需要进行旋转操作
{
int rightBF = root.Right.BF; //获取旋转根右孩子的平衡因子
if (rightBF == 1)
{
newRoot = RL(root); //RL型旋转
}
else if (rightBF == -1)
{
newRoot = RR(root); //RR型旋转
}
else //当旋转根左孩子的bf为0时，只有删除时才会出现
{
newRoot = RR(root);
tallChange = false;
}
}
//更改新的子树根
if (p > 0)
{
if (root.Data <</SPAN> path[p - 1].Data)
{
path[p - 1].Left = newRoot;
}
else
{
path[p - 1].Right = newRoot;
}
}
else
{
_head = newRoot; //如果旋转根为AVL树的根，则指定新AVL树根结点
}
return tallChange;
}
//root为旋转根，rootPrev为旋转根双亲结点
private Node LL(Node root) //LL型旋转，返回旋转后的新子树根
{
Node rootNext = root.Left;
root.Left = rootNext.Right;
rootNext.Right = root;
if (rootNext.BF == 1)
{
root.BF = 0;
rootNext.BF = 0;
}
else //rootNext.BF==0的情况，删除时用
{
root.BF = 1;
rootNext.BF = -1;
}
return rootNext; //rootNext为新子树的根
}
private Node LR(Node root) //LR型旋转，返回旋转后的新子树根
{
Node rootNext = root.Left;
Node newRoot = rootNext.Right;
root.Left = newRoot.Right;
rootNext.Right = newRoot.Left;
newRoot.Left = rootNext;
newRoot.Right = root;
switch (newRoot.BF) //改变平衡因子
{
case 0:
root.BF = 0;
rootNext.BF = 0;
break;
case 1:
root.BF = -1;
rootNext.BF = 0;
break;
case -1:
root.BF = 0;
rootNext.BF = 1;
break;
}
newRoot.BF = 0;
return newRoot; //newRoot为新子树的根
}
private Node RR(Node root) //RR型旋转，返回旋转后的新子树根
{
Node rootNext = root.Right;
root.Right = rootNext.Left;
rootNext.Left = root;
if (rootNext.BF == -1)
{
root.BF = 0;
rootNext.BF = 0;
}
else //rootNext.BF==0的情况，删除时用
{
root.BF = -1;
rootNext.BF = 1;
}
return rootNext; //rootNext为新子树的根
}
private Node RL(Node root) //RL型旋转，返回旋转后的新子树根
{
Node rootNext = root.Right;
Node newRoot = rootNext.Left;
root.Right = newRoot.Left;
rootNext.Left = newRoot.Right;
newRoot.Right = rootNext;
newRoot.Left = root;
switch (newRoot.BF) //改变平衡因子
{
case 0:
root.BF = 0;
rootNext.BF = 0;
break;
case 1:
root.BF = 0;
rootNext.BF = -1;
break;
case -1:
root.BF = 1;
rootNext.BF = 0;
break;
}
newRoot.BF = 0;
return newRoot; //newRoot为新子树的根
}
}

　　

参考文档：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_66770c8501015xmw.html

http://www.eefocus.com/xiaols/blog/13-12/300934_f5e45.html