题目
题目描述
今天，接触信息学不久的小(A)刚刚学习了卡特兰数。
卡特兰数的一个经典定义是，将(n)个数依次入栈，合法的出栈序列个数。
小(A)觉得这样的情况太平凡了。于是，他给出了(m)组限制，每个限制形如((f_i,g_i))，表示(f_i)不能在(g_i)之后出栈。
他想求出：在满足了这(m)组限制的前提下，共有多少个合法的出栈序列。他不喜欢大数，你只需要求出答案在模(998244353)意义下的值即可。
输入格式
输入第一行为两个非负整数，(n)、(m)，含义题面已给出。
接下来(m)行，每行两个正整数，((f,g)) 表示一组限制。
输出格式
输出一行，为一个非负整数，表示你求得的答案 (modspace 998244353)。
样例输入
3 1
2 3
样例输出
3
样例解释
可以验证({1,2,3})，({2,1,3})，({2,3,1})都是合乎条件的。
数据规模
| (编号) | (分值) | (n) | (m) | (特殊性质) |
|---|---|---|---|---|
| (1) | (15) | (le 300) | (= 0) | |
| (2) | (15) | (le 7) | (le 10) | |
| (3) | (15) | (le 100) | (le 50) | |
| (4) | (15) | (le 300) | (保证所有的f_i相同) | |
| (5) | (20) | (le 300) | (le 300) | |
| (6) | (20) | (le 300) |
对于全部的数据，保证(nle 300)，(mle frac{n(n-1)}{2})，(f_i、g_i le n)。
题解
题目大意：(n)个数以此入栈，问在满足(m)个形如(f_i)不能在(g_i)后出栈的限制的出栈序列数
45%
我们知道卡特兰数有个推导公式是(f_i=sum_{i=1}^nf_i imes f_{n-i-1}),这个公式实际上是枚举了最后出栈的数
那么扩展到这题，我们将(dp)转换为区间(dp)，枚举(k)为最后出栈的数，那么有两种情况不合法：(f=k)或者(f>k>g)。当(f=k)的时候，(f)是最后出栈的，显然不合法。而我们知道，小于(k)总是比大于(k)的先出栈，所以当(f>k>g)时也是不合法的
设(f[i][j])表示(i)到(j)这个区间的合法出栈序列，那么在上述两种不合法的情况不成立的情况下，(f[i][j]+=f[i][k-1] imes f[k+1][j])
时间复杂度(O(n^3m))，预计得分(45)
100%
考虑优化(dp)，在(O(1))的时间内判断合不合法。不合法条件(f>k>g)成立，说明(f>g)，那么在读入时(f>g)的放入平面直角坐标系中，坐标((f,g))，那么可以前缀和优化
记录前缀和(sm[i][j])和(l[i][j])，分别记录(f>g)以及所有的点，用来判断(f>k>g)和(f=k)的情况
构造一个矩形
其中(i,j,k)分别是区间起点，终点，以及最后出栈的数
(f=k)说明(l[k][j]-l[k][i-1]>0)，而如果矩形(sm(i,i,j,k-1)-sm(i,i,k,j)>0)，说明有(f>k>g)的情况，这两种情况都是不合法的
这样的话时间复杂度优化到了(O(n^3))，预计得分(100)
Code
#include<cstdio>
#define mod 998244353
#define N 310
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,f[N][N],sm[N][N],al[N][N];
ll get(ll x,ll y,ll p,ll q) {return sm[x][y]-sm[x][q-1]-sm[p-1][y]+sm[p-1][q-1];}
int main()
{
freopen("catalan.in","r",stdin);
freopen("catalan.out","w",stdout);
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for (ll i=1,x,y;i<=m;++i)
{
scanf("%lld%lld",&x,&y);
if (x!=y)
{
if (x>y) ++sm[x][y];
++al[x][y];
}
}
for (ll i=1;i<=n;++i)
for (ll j=1;j<=n;++j)
{
sm[i][j]=sm[i][j]+sm[i-1][j]+sm[i][j-1]-sm[i-1][j-1];
al[i][j]=al[i][j]+al[i][j-1];
}
for (ll i=1;i<=n;++i)
f[i][i]=f[i+1][i]=f[i][i-1]=1;
for (ll len=2;len<=n;++len)
for (ll i=1;i+len-1<=n;++i)
{
ll j=i+len-1;
for (ll k=i;k<=j;++k)
{
ll x;
if (k>i) x=get(j,k-1,i,i)-get(k,j,i,i);
else x=0;
ll y=al[k][j]-al[k][i-1];
if (x<=0&&y<=0) f[i][j]=(f[i][j]+f[i][k-1]*f[k+1][j]%mod)%mod;
}
}
printf("%lld
",f[1][n]);
fclose(stdin);
fclose(stdout);
return 0;
}