拓扑排序【Kahn算法(bfs)和dfs求拓扑序列及判环】

拓扑排序

对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，该排序满足这样的条件——对于图中的任意两个结点u和v，若存在一条有向边从u指向v，则在拓扑排序中u一定出现在v前面。

 

当且仅当一个有向图为有向无环图（DAG）时才存在对应于该图的拓扑排序。每一个有向无环图都至少存在一种拓扑排序。

 

拓扑排序的实现：

①Kahn算法【常可用来判断该图是否是DAG（有向无环图）】

算法复杂度为O(v+e)。

算法实现：循环执行以下两步直到不存在入度为0的顶点为止。

（1）选择一个入度为0的顶点并输出之；（2）从网中删除此顶点及其所有出边。

循环结束后，若输出的顶点数小于网中的顶点数，则该图存在回路，否则输出的顶点序列就是拓扑序列，该图也即为DAG图。

 

该算法可借助队列实现。类似于bfs：首先将入度为0的顶点入队，取出队头元素进行拓展，找其邻接点，每个邻接点的入度-1，当入度变为0时则入队。循环此操作直到队列为空。出队顶点序列即为拓扑序列。

int k=0;
void toposort()
{
    queue<int>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!indegree[i])
            q.push(i);
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        cout<<u<<' ';k++;//输出拓扑序列,计数+1
    for (u的每个邻接点v){ //vector或链式前向星建图，遍历方式不一样
        indegree[v]--;//删除边(u, v)，即让v的入度-1；
        if (!indegree(v) )
            q.push(v);
    　　}
    }
} 
if (k!=n)
    存在环；
else
    不存在环，为DAG图;   

②基于DFS的拓扑排序算法（ 复杂度O(V+E) )

1)DFS求给定DAG图的拓扑序列【前提：已知图是DAG】

topo数组存求得的拓扑序列
int k=0;
void DFS(int x)
{
    vis[x]=1;
    for(遍历x的邻接点j){
        if(!vis[j])
            DFS(j);
    }
    topo[k++]=x;//用栈存
}
void toposort()
{
    for(int i=1;i<=n;i++){ //遍历每个顶点
        if(!vis[i])
            DFS(i);
    }
    for(int j=k-1;j>=0;j--)
        cout<<topo[i]<<' ';//逆序输出数组，所得序列即为拓扑序列
}

2）DFS判断有向图是否有环（是否存在合法的拓扑序列）：

对一个节点x进行dfs，判断是否能从x回到自己这个节点，即是否存在x到x的回路。

这里需用一个color数组标记节点的状态：-1代表未访问，0代表正在被访问，1代表已被访问过

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,e;//n个顶点（1<=n<=100），e条边
int color[105];//color数组表示每个结点的状态
vector<int>G[105];//vector邻接表建图
bool flag;//为真则存在环
void DFS(int x)
{
    if(flag)//如果有环就返回，否者继续搜索
        return;
    color[x]=0;//x正在被访问，状态为0
    for(int i=0;i<G[x].size();i++){
        if(color[G[x][i]]==-1)//与x相连的结点状态为-1，则该节点未被访问，继续搜索
            dfs(G[x][i]);
        else if(color[G[x][i]]==0){//与x相连的结点状态也为0，代表有环，返回
            flag=true;
            return;
        }
    }
    color[x]=1;//标记x状态为已被访问过了
}
int main()
{
    int u,v;
    while(~scanf("%d%d",&n,&e))
    {
        flag=false;
        for(int i=1;i<=n;i++)//二维vector初始化
            for(int j=0;j<G[i].size();j++)
                G[i].pop_back();
        memset(color,-1,sizeof(color));//初始化为未访问
        
        for(int i=1;i<=e;i++){
            scanf("%d%d",&u,&v);
            G[u].push_back(v);
        }
        DFS(1);
        if(!flag)
            printf("有向图无环，存在合法的拓扑序列
");
        else 
            printf("有向图有环，不存在合法的拓扑序列
");
    }
    return 0;
}

UVA10305 给任务排序 Ordering Tasks

题意

John有n个任务要做，每个任务在做之前要先做特定的一些任务。

输入第一行包含两个整数n和m，其中1<=n<=100。 n表示任务数，而m表示有m条任务之间的关系。 接下来有m行，每行包含两个整数i和j，表示任务i要在j之前做。

当读入两个0（i=0，j=0）时，输入结束。

输出包含q行，每行输出一条可行的安排方案。

输入：
5 4
1 2
2 3
1 3
1 5
0 0
输出：
1 4 2 5 3

题解

裸拓扑排序

Code

Kahn算法+vector邻接表

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
int n,m,indegree[105];
void toposort(vector<vector<int> >G)
{
    int space=0;
    queue<int>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!indegree[i])
            q.push(i);
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();q.pop();
        space?printf(" "):printf(""),space=1;
        printf("%d",x);
        for(int j=0;j<G[x].size();j++){
            indegree[G[x][j]]--;
            if(!indegree[G[x][j]])
                q.push(G[x][j]);
        }
    }
}
int main()
{
    int u,v;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)&&n)
    {
        vector<vector<int> >G(n+5);//开n+5行的vector二维数组
        indegree[105]={};
        while(m--){
            scanf("%d%d",&u,&v);
            G[u].push_back(v);
            indegree[v]++;
        }
        toposort(G);
        puts("");
    }
    return 0;
}

 基于DFS的拓扑排序+链式前向星建图

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
struct node{
    int to,next;
}G[105];
int head[105],cnt;
void add(int u,int v)
{
    G[cnt].to=v;
    G[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt++;
}
int n,e,indegree[105],ans[105],k,vis[105];
void DFS(int rec)
{
    vis[rec]=1;
    for(int j=head[rec];~j;j=G[j].next){
        if(!vis[G[j].to])
            DFS(G[j].to);
    }
    ans[k++]=rec;
}
void toposort()
{
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!vis[i])DFS(i);
    }
    int q=1;
    for(;k>0;){
        q?cout<<"":cout<<" ";
        q=0;
        cout<<ans[--k];
    }
}
int main()
{
    int u,v;
    while(~scanf("%d%d",&n,&e)&&n)
    {
        cnt=0;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        memset(head,-1,sizeof(head));
        for(int i=1;i<=e;i++){
            scanf("%d%d",&u,&v);
            add(u,v);
        }
        toposort();
        puts("");
    }
    return 0;
}