分治算法四：二叉堆的创建

目录

• 一、二叉堆概念
• 二、性质维护（以最大堆为例）
• 三、堆的创建
• 四、测试结果

一、二叉堆概念

1、二叉堆的数据结构，可以由一个数据对象来表示，实际上是一个完全二叉树，即除最后一层外，其他层的结点数均达到最大值，且最后一层的填充为从左到右进行。
2、数组与二叉堆的表示如下：
将数组a[] = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}表示成二叉堆如下：

3、父节点、左叶子节点、右叶子节点
假设树的根节点为array[0]，对于给定节点的小标为i，则：

父节点索引为： （i - 1） / 2

左叶子节点索引为： 2 * i + 1

右叶子节点索引为： 2 * i + 2

3、最大堆、最小堆（或大顶堆、小顶堆）
最大堆：父节点的值不小于子节点的值，即array[i / 2] >= array[i]
最小堆：父节点的值不大于子节点的值，即array[i / 2] <= array[i]

二、性质维护（以最大堆为例）

1、背景：假设在数组A中，元素A[i]为完全二叉树的左、右两个孩子都已构成堆，但A[i]与两个孩子间不符合堆的性质，需要将其调整，使之满足堆的性质。

2、问题描述：数组A[1...n]预期存储一个完全二叉树，其中以A[i]为父节点的左、右子树已经构成最大堆，进行调节后，使A[i]为根节点的二叉树满足最大堆的性质。

3、问题思路：
第一步，将A[i]与左右节点进行比较，无非两种情况：与左叶子节点交换，或者与右叶子节点交换；
第二步，交换后，被交换的叶子节点可能不满足堆的性质，需要继续进行调节；
第三步[问题分解]，以被交换的叶子节点为根节点，继续判断调整，将原问题转化成小规模的问题（减少了二叉树的一层）；
第四步，使用递归处理

三、堆的创建

根据给出的数据，创建最大堆或最小堆，创建过程以及测试代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

// 数组打印
static void printfList(char *info, int *array, int len)
{
    printf("%s", info);
    for(int i = 0; i < len; i++) {
        printf("%d ", array[i]);
    }
    printf("
");
    return;
}

// 交换两个变量的值
void swap(void *x, void *y, int size)
{
    void *temp = (void*)malloc(size);
    memcpy(temp, x, size);
    memcpy(x, y, size);
    memcpy(y, temp,size);
    free(temp);
}

// 在左右子树满足堆特性的前提下（最简单情形为左右子树为单个元素），判断父节点加入后，是否满足堆特性并进行调整
void heapify(void *a, int size, int parent, int heapSize, int(*comp)(void *, void *))
{
    // 根据父节点索引i，得到左叶子节点和右叶子节点的索引，根节点的索引从0开始
    int left = 2 * parent + 1;
    int right = 2 * parent + 2;
    int most;
    
    // 比较左叶子节点和父节点大小，most = max(left, parent)
    if (left < heapSize && comp(a + left * size, a + parent * size) > 0) {
        most = left;
    } else {
        most = parent;
    }
    // 比较右叶子节点和most节点, most = max(right, most)
    if (right < heapSize && comp(a + right * size, a + most * size) > 0) {
        most = right;
    }

    // 此时most =  max(parent, left, right); 若不满足堆特性，将most与父节点进行交换，并对交换后的叶子节点继续判断
    if (most != parent) {
        swap(a + parent * size, a + most * size, size);
        heapify(a, size, most, heapSize, comp);
    }
}

// 因为最后一层无叶子节点，故从倒数第二层开始，从底向上依次判断；当判断某个父节点时，可以保证左右子树均满足堆特性
void buildHeap(void *a, int size, int length, int(*comp)(void *, void *))
{
    for (int i = (length / 2) - 1; i >= 0; i--) {
        // 单次判断过程，直到根节点为止，使整棵树满足堆特性
        heapify(a, size, i, length, comp);
        printf("i = %d ", i);
        printfList("buildHeap:", (int *)a, length);
    }
}

// 比较函数
int intGreater(void *x, void *y)
{
    return *(int *)x - *(int *)y;
}
int intLess(void *x, void *y)
{
    return *(int *)y - *(int *)x;
}

int main(void)
{
    int heap[] = {4, 1, 3, 2, 16, 9, 10, 14, 8, 7};
    int heapSize = sizeof(heap) / sizeof(heap[0]);

    printfList("
before max heap:", heap, heapSize);
    buildHeap(heap, sizeof(int), 10, intGreater);
    printfList("after max heap:", heap, heapSize);

    printfList("
before min heap:", heap, heapSize);
    buildHeap(heap, sizeof(int), 10, intLess);
    printfList("after min heap:", heap, heapSize);

    while (1);
    return 0;
}

四、测试结果

原始数组形成的二叉树为:

堆的调整过程以及最后结果如下图所示：