欧拉函数
对于任意的正整数(n)，求在小于等于(n)的正整数之中，与(n)互质的数的个数，记作(varphi(n))，若有质因子分解为(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}cdots p_r^{k_r})，则其通项公式为：
[varphi(n)=nprod_{i=1}^{r}{left(1-frac{1}{p_i}
ight)}
]
证明：
当(n=p)是一个质数时，数(1)到(p-1)都与(p)互质，所以(varphi(p)=p-1)
当(n=p^k)是一个质数的幂时，有(frac{p^k}{p})个数不与(p^k)互质，所以(varphi(p^k)=p^kleft(1-frac{1}{p}
ight))
当(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}cdots p_r^{k_r})时，有
[egin{align}
varphi(p_1^{k_1}p_2^{k_2}cdots p_r^{k_r}) &= varphi(p_1^{k_1})varphi(p_2^{k_2})cdotsvarphi(p_r^{k_r})\
&= p_1^{k_1}p_2^{k_2}cdots p_r^{k_r}left(1-frac{1}{p_1}
ight)left(1-frac{1}{p_2}
ight)cdotsleft(1-frac{1}{p_r}
ight)\
&= nprod_{i=1}^{r}{left(1-frac{1}{p_i}
ight)}\
end{align}]
这里(varphi(p_1^{k_1}p_2^{k_2})=varphi(p_1^{k_1})varphi(p_2^{k_2}))，是因为对于数(aleq p_1^{k_1})与(p_1^{k_1})互质，数(bleq p_2^{k_2})与(p_2^{k_2})互质，那么由中国剩余定理可以得出模(p_1^{k_1}p_2^{k_2})的唯一解(c)，且数(c)与(p_1^{k_1}p_2^{k_2})互质的充要条件就是数(a)与(p_1^{k_1})互质，数(b)与(p_2^{k_2})互质
即得证