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  • 欧拉定理

    欧拉定理

    如果正整数(n)和整数(a)互质,那么就有

    [a^{varphi(n)}equiv 1\,mod\,n ]

    其中(varphi(n))是欧拉函数
    证明:
    (Phi={x_1,x_2,cdots,x_{varphi(n)}})表示小于数(n)且与(n)互质的数的集合
    那么集合(aPhi={ax_1,ax_2,cdots,ax_{varphi(n)}})中的数模(n)的余数都不同,这里可用反证法,假设(ax_iequiv ax_j\,mod\,n),由于(gcd(a,n)=1),推出(x_iequiv x_j\,mod\,n),这是不可能的
    所以集合(aPhi={ax_1,ax_2,cdots,ax_{varphi(n)}})(n)的余数集合({ax_1\%n,ax_2\%n,cdots,ax_{varphi(n)}\%n})({x_1,x_2,cdots,x_{varphi(n)}})是相同的(次序不一样)
    所以

    [egin{align} prod_{i=1}^{varphi(n)}{x_i} &equiv left(prod_{i=1}^{varphi(n)}{ax_i} ight)\,mod\,n\ &equiv left(a^{varphi(n)}prod_{i=1}^{varphi(n)}{x_i} ight)\,mod\,n\ end{align}]

    由于(gcd(prod_{i=1}^{varphi(n)}{x_i},n)=1),所以消去(prod_{i=1}^{varphi(n)}{x_i}),得到

    [a^{varphi(n)}equiv 1\,mod\,n ]

    即得证

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/HachikoT/p/13922622.html
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