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  • 最大异或子序列问题

    问题是这样的:

    给定一个整数序列,要求出其最大异或子序列

    受到最大和子序列的启发,我首先就尝试 DP

    然而 WA 掉了。。。

    很明显,这个问题没有最优子结构

    异或可以抵消,因此最大的可以抵消成最小的,非常不好 :(

    然后我尝试贪心

    先给数字排序,然后从大到小选取使当前答案变大的加入进去

    也 WA 掉了 :(

    很显然,每次我们都是取到第 i 位为 1 的最大的数字

    这样能保证答案最大吗?并不能

    hack:1110, 1000, 0100, 0010, 0001

    正解是按位贪心,具体算法如下:

    for (int i = 62; i >= 0; i--) {
      for (int j = 1; j <= n; j++) {
        if ((a[j] >> i) & 1) {
          if (((ans >> i) & 1) == 0) {
            ans ^= a[j];
          }
          for (int k = 1; k <= n; k++) {
            if (((a[k] >> i) & 1) && k != j) {
              a[k] ^= a[j];
            }
          }
          a[j] = 0;
          break;
        }
      }
    }

    初看似乎也是在找第 i 位为 1 的数并入进去

    不同之处在于对其它第 i 位为 1 的数的处理:把它们都异或上当前选的数

    感性认识一下,这种做法符合最优化的性质:取舍与最大化

    事实上可以联想成一种特殊的 DP:

    为了使当前结果更大,我需要做一些取舍,并且保证能取到更优解

    这与 DP 的思想不谋而合

    DP 方程中时常蕴含着对子问题的取舍关系,而这里对异或和的处理也隐藏了取舍

    因此这种做法从 DP 的角度考虑是正确的

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/HailJedi/p/9638142.html
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