【NOI OL #2】T3 游戏

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要求“恰好有$k$个回合不平局”，考虑先求“至少有$k$个回合不平局”。

设$f[u][k]$为$u$的子树内，选出$k$对异色祖孙节点的方案数。树上背包走起！

有两种情况，即$u$有没有算进去。先看$u$没被算进去的情况：$$f[u][k]=sum_{k_1+k_2+k_3+dots +k_p=k}prod f[son_1][k_1] imes f[son_2][k_2] imes f[son_3][k_3] imes f[son_p][k_p]$$

不能直接枚举，考虑每次将子树合并：$$f[u][j+k]=sum_{son}f[son][j] imes f[u][k]$$

这里注意枚举的上界是“已知最大异色点对数量”，可以保证单个子树的枚举时间是$O(n)$的。感性理解：每个点对仅会在$LCA$处贡献一次复杂度。

同时为了避免覆盖的情况，需要额外使用一个一维数组。这里有一个很奇怪的问题，就是如果使用$memset$清零这个小数组，笔者找不到正确的长度表达式。见代码注释。

2020.05.20更新：已经想到正确的长度表达式，只需要多加个一就好了（算上数组的第$0$位）。然而提交上去发现运算时间并没有明显的减少，甚至比不上评测机效率小幅度波动带来的影响。

设$sum[u][c]$表示$u$子树内$c$颜色（仅有$0/1$）的点的数量，那么考虑$u$和子树内的异色点配对，有$$f[u][k]+=f[u][k-1] imes(\,sum[u][coplus 1]-(j-1)\,)quad(sum[u][coplus 1]>j-1)$$

其中$oplus$表示异或。

接下来设$G(k)=f[1][k] imes(m-k)!$，即在选出$k$个异色祖孙点对之后，剩下随意组合的方案总数，我们暂且认为它是至少选出了$k$对的方案总数。

但是这样显然会算重，因为随意组合的点对中也会出现异色祖孙点对。设$H(i)$为恰好选出了$i$个异色祖孙点对的方案总数，可以发现：对于每个$H(i)$，它对$G(k)$的贡献为$ binom{i}{k}H(i)$。

举个栗子，假设$i=4,k=3$，有①②③④四个异色祖孙点对。那么有可能是①②③被算在$f[1][k]$内，④是自由组合出来的；也有可能是①②④被算在$f[1][k]$内，③是自由组合出来的……总共有$ binom{i}{k}$种可能。

于是乎$G(k)=sum_{i=k}^m binom{i}{k}H(i)$，可以进行二项式反演。二项式反演的公式：$$g(k)=sum_{i=k}^{infty} binom{i}{k}f(i)Leftrightarrow f(i)=sum_{k=i}^{infty}(-1)^{k-i} binom{k}{i}g(k)$$

代入即可。

$G(k)$并不是“至少选出了$k$对的方案总数”，因为它重复次数太多。笔者认为它起到一个桥梁的作用，方便我们使用二项式反演来求得答案。但不能否认，它内涵的“至少”的概念，和题目中给的“恰好”的概念相对，确实是我们解题的起手式。

程序（100分）：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define IL inline
#define RG register
#define _1 first
#define _2 second
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=5000;
const LL mod=998244353;

    int n,m;
    bool col[N+3];
    
struct Edge{
    int to,nxt;
}e[(N<<1)+3];
    int h[N+3],top;

IL void add(int u,int v){
    top++;
    e[top].to=v;
    e[top].nxt=h[u];
    h[u]=top;
    
}
    
IL LL add(LL x,LL y){return (x+y)%mod;}
IL LL mul(LL x,LL y){return x*y%mod;}
IL void fadd(LL &x,LL y){x=add(x,y);}
IL void fmul(LL &x,LL y){x=mul(x,y);}
    
IL LL qpow(LL a,LL b){
    LL ans=1;
    for(;b;fmul(a,a),b>>=1)
    if(b&1)
        fmul(ans,a);
    return ans;
    
}

    LL fac[N+3],inv[N+3];
    
IL void init(){
    fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=m;i++)
        fac[i]=mul(fac[i-1],i);
        
    inv[m]=qpow(fac[m],mod-2);
    for(int i=m;i>2;i--)
        inv[i-1]=mul(inv[i],i);
    
}

IL LL C(int n,int m){
    return mul(mul(fac[n],inv[m]),inv[n-m]);
}

    int sz[N+3],sum[N+3][2];                    //sz：子树内最大点对数 
    LL f[N+3][N+3],g[N+3];
    
void dfs(int u,int fr){
    f[u][0]=1;
    for(int i=h[u];~i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;
        if(v==fr)    continue;
        
        dfs(v,u);
        sum[u][0]+=sum[v][0];
        sum[u][1]+=sum[v][1];
        
        for(int j=0;j<=sz[u]+sz[v];j++)    g[j]=0;
//        memset(g,0,(sz[u]+sz[v])*(sizeof(LL)));
        for(int j=0;j<=sz[u];j++)
            for(int k=0;k<=sz[v];k++)
                fadd(g[j+k], mul(f[u][j],f[v][k]) );
        
        sz[u]+=sz[v];
        for(int j=0;j<=sz[u];j++)
            f[u][j]=g[j];
        
    }
    sum[u][col[u]]++;
    
    for(int i=sz[u];i>=0;i--)
    if(sum[u][col[u]^1]-i>0)
        fadd(f[u][i+1], mul(f[u][i],sum[u][col[u]^1]-i) );
    if(f[u][sz[u]+1])
        sz[u]++;
    
}

int main(){
    freopen("p2.in","r",stdin);
    freopen("p2.out","w",stdout);

    scanf("%d
",&n);
    m=n>>1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        col[i]=getchar()-'0';
    memset(h,-1,sizeof h);
    top=-1;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u,v;    scanf("%d%d",&u,&v);
        add(u,v);    add(v,u);
        
    }
    
    init();
    
    memset(sz,0,sizeof sz);
    memset(sum,0,sizeof sum);
    memset(f,0,sizeof f);
    dfs(1,0);
    
    for(int i=0;i<=sz[1];i++)
        fmul(f[1][i],fac[m-i]);
    for(int k=0;k<=m;k++){
        LL ans=0,t=1;
        for(int i=k;i<=sz[1];i++,fmul(t,mod-1))
            fadd(ans, mul(t, mul(C(i,k),f[1][i]) ) );
        printf("%lld
",ans);
        
    }

    return 0;

}