BZOJ 1010: [HNOI2008]玩具装箱toy 斜率优化dp

Description

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

 

题解：

这是典型的斜率优化dp，状态也很好得到，dp[i]=min{dp[j]+(sum[i]-sum[j]+i-j-1-L)^2。斜率优化的过程可以看看我以前写的一篇博客：http://www.cnblogs.com/HarryGuo2012/p/4841215.html

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cstdio>
#define MAX_N 50004
using namespace std;

typedef long long ll;

ll N,L,C[MAX_N];
ll sum[MAX_N];

ll dp[MAX_N];

double F(int t) {
    return sum[t] + t + 1 + L;
}

double G(int t) {
    return sum[t] + t;
}

double Y(int t){
    return dp[t]+F(t)*F(t);
}

double X(int t){
    return F(t);
}

double Slope(int u,int v) {
    return (Y(u) - Y(v)) / (X(u) - X(v));
}

int que[MAX_N];

int main() {
    cin.sync_with_stdio(false);
    cin>>N>>L;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        cin>>C[i];
        sum[i] = sum[i - 1] + C[i];
    }
    int front = 0, rear = 0;
    que[rear++] = 0;
    //dp[1] = (C[1] - L) * (C[1] - L);
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        while (rear - front > 1 && Slope(que[front], que[front + 1]) <= 2 * G(i))front++;
        int j = que[front];
        ll tmp = sum[i] - sum[j] + i - j - 1 - L;
        dp[i] = dp[j] + tmp * tmp;
        while (rear - front > 1 && Slope(que[rear - 1], que[rear - 2]) >= Slope(que[rear - 1], i))rear--;
        que[rear++] = i;
    }
    cout<<dp[N]<<endl;
    return 0;
}