ACwing 852

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。

请你判断图中是否存在负权回路。

输入格式

第一行包含整数n和m。

接下来m行每行包含三个整数x，y，z，表示存在一条从点x到点y的有向边，边长为z。

输出格式

如果图中存在负权回路，则输出“Yes”，否则输出“No”。

数据范围
1≤n≤2000 ,
1≤m≤10000 ,
图中涉及边长绝对值均不超过10000。

输入样例：

3 3
1 2 -1
2 3 4
3 1 -4

输出样例：

Yes

题目大意:

给出一个图，询问图中是否存在负权回路（负环），所谓负环，就是这几条边可以无限松弛，一直到 -∞，那么朴素dijkstra和堆优化的dijkstra是没法处理的，bellman - ford 算法复杂度过高，本题采用一个队列优化的bellm - ford（SPFA）算法来解题。

解题思路：

先说下怎么判断负环：如果1 - x 点一共有n个顶点，那么就是最多可以走n - 1条边，如果这条路上走过了n条边，理论上应该有n + 1个顶点， 而我们只有n个顶点，根据鸽巢原理，一定有一个点走了两次，这就是出现了负环。用spfa判负环即可，开一个计数数组cnt，cnt[i] 表示到达 i 点的边数，判断cnt[i] 是否 >= n 即可。具体思路：套spfa模板，但不必初始化dis数组，并且第一次要把所有顶点全入队而不能只入队1号点，因为存在这样一种情况：存在负权回路，但是从1号点出发是到达不了的，所以要全部入队。然后判断dis时，如果可以松弛，顺便cnt[j] = cnt[t] + 1，因为cnt[j]是从cnt[t] 转移过来的，每次判一下cnt即可。

Code：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 1e4 + 50;

int h[N], e[N], ne[N], w[N], idx;
int n, m;
int dis[N], cnt[N];
bool vis[N];

void add(int a, int b, int c)//数组模拟邻接表，不断加边
{
    e[idx] = b;
    w[idx] = c;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx++;
}

bool spfa()
{
    queue<int > q;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)//防止走不到的情况，全部入队
    {
        q.push(i);
        vis[i] = true;
    }
    
    while (!q.empty())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();
        vis[t] = false;
        
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dis[t] + w[i] < dis[j])//如果条件满足则可以更新dis 和 cnt
            {
                dis[j] = dis[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if (cnt[j] >= n) return true;//每次判断是不是 >= n 
                if (!vis[j])
                {
                    q.push(j);
                    vis[j] = true;
                }
            }
        }
    }
    
    return false;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    memset(h, -1, sizeof h);//邻接表头节点初始化为 -1
    
    for (int i = 1; i <= m; i ++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
    }
    
    puts(spfa() ? "Yes" : "No");
    
    return 0;
}