DP

混合背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

物品一共有三类：

第一类物品只能用1次（01背包）；
第二类物品可以用无限次（完全背包）；
第三类物品最多只能用 si 次（多重背包）；
每种体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

si=−1 表示第 i 种物品只能用1次；
si=0 表示第 i 种物品可以用无限次；
si>0 表示第 i 种物品可以使用 si 次；
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
−1≤si≤1000
输入样例
4 5
1 2 -1
2 4 1
3 4 0
4 5 2
输出样例：
8

问题大意：

给出 n m 表示有 n 件物品和一个容积为 m 的背包，接下来输入n个物品属性，即：体积 价值 类别 关于物品有以下三类：

• s = 1时 ，该物品最多可选1次，可以不选
• s = 0时 ， 该物品最多可以选无限次
• s > 0时 ， 该物品最多选 s 次

询问背包内容纳的物品最大价值可以达到多少。

问题分析：

观察题意发现，这三类物品分别为 01背包 完全背包和多重背包，只是三种背包问题混合在一起了，所以叫做混合背包问题。学习该问题之前建议先把这三种背包全部理解，该问题就会变的很简单。
传送门：

DP - 背包九讲之01背包
DP - 背包九讲之完全背包
DP - 背包九讲之多重背包

观察数据范围有1e3，所以对于多重背包问题而言是一定要优化的。前面讲过，多重背包可以通过二进制优化优化为01背包问题，那么这个问题就可以根据 s 的值来判断套用01背包还是完全背包了。在此之前我们需要先处理输入的数据，将其根据s的值分为01背包和完全背包，对于多重背包问题，二进制拆一下数就可以作为01背包的物品存入vector中了。代码实现：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 2010;
struct node
{
	int k, v, w;//k 表示该物品属于何种背包，v 体积 w价值
};
vector<node> bag;
int f[N];
int main()
{
	memset(f, 0, sizeof f);
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		int v, w, s;
		cin >> v >> w >> s;
		if (s == -1)//根据s的值判断是否拆数
			bag.push_back({-1, v, w});
		else if (s == 0)
			bag.push_back({0, v, w});
		else
		{
			for (int j = 1; j <= s; j <<= 1)
			{
				s -= j;
				bag.push_back({-1, j * v, j * w});
			}
			if (s > 0)
				bag.push_back({-1, s * v, s * w});
		}
	}
	for (auto i : bag)
	{
		if (i.k == -1)//根据种类来判断套用什么背包
			for (int j = m; j >= i.v; j--)
				f[j] = max(f[j], f[j - i.v] + i.w);
		else
			for (int j = i.v; j <= m; j++)
				f[j] = max(f[j], f[j - i.v] + i.w);
	}
	cout << f[m] << endl;
	return 0;
}