LeetCode-面试题10.2-青蛙跳台阶问题

来源：力扣（LeetCode）面试题10.2

问题

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
示例 2：

输入：n = 7
输出：21

解答

青蛙每次跳台阶的情况有两种：

①跳2级台阶

②跳1级台阶

排列组合解法

分析

假设情况①共出现 x(x >= 0,x <= n/2) 次，则还剩下 n - 2x 级台阶给情况②。那么，青蛙一共跳了 y = x + n - 2x = n - x 次。

那么，问题就转化为：将 x 个完全相同的球放入 y 个有次序的盒子，共有多少种情况？

计算公式为：

times = y*(y-1)*(y-2)*...*(y-x+1)/(1*2*3*....*x)

据此，将 x 从 0 到 n/2 的所有times值累加，即得出结果。

代码

public int numWays(int n) {
    int res = 0;
    for(int x = 0; x <= n/2; x++){
        int y = n - x;
        int upper = 1;
        int lower = 1;
        for(int i = 1; i <= x; i++){
            upper *= (y - i + 1);
            upper %= 1000000007;
            lower *= i;
            lower %= 1000000007;
        }
        res += upper/lower;
    }
    return res;
}

问题

理论上，这个方法可以计算出结果。

但，经过测试，当 x > 23 时，结果出现错误。

由于 先进行乘法，再进行取模，无法避免 进行乘法时结果溢出的情况。

暂时未找到解决办法。

波菲纳契数列解法

分析

• 设跳上 n 级台阶有 f(n) 种跳法。在所有跳法中，青蛙的最后一步只有两种情况：跳上1级或2级台阶 。

  1.当为1级台阶 ：剩下 n - 1 个台阶，此情况共有 f(n-1) 种跳法；

  2.当为2级台阶 ：剩下 n - 2 个台阶，此情况共有 f(n-2) 种跳法。

• 综上，f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) 。

• 当只有0或1级台阶，青蛙只需要跳1下，即 f(0) = f(1) = 1 。

代码

参考LeetCode-面试题10.1-斐波那契数列