2020牛客暑期多校训练营(第二场) G.Greater and Greater

• 题意

  • 给出两个序列 A、B，其长度分别为 n、m，保证 $n>m $ ，求 A 中有多少个长度为 m 的子串 S，使得(forall iin{1,2,cdots,m},S_i ge B_i)

• 解析

  • 出题人直播时表示看到数据很容易想到用 (bitset) (雾

  • 对于每一个 (A_i) 需要求一个长度为 (m) 的 (bitset) (S_i) ，其中 (S_i[j] = 1) 表示 $A_i ge B_j $ 。

  • 

  • 那么如果得到了所有的 (S_i) 该如何判断答案呢

  • 

  • 可以发现只有某一列的三个数全为 1 ，才对答案有贡献。做法下面等会讲。

  • 现在我们要考虑的问题就是如何高效地得到所有地 (S_i) 。

  • 发现，在对 (B) 序列排序后，如果求出 (B) 对应的 (bitset) (S_j^‘)，会发现 (i) 位置的 (bitset) 和 (i-1) 的 (bitset) 相比，只在第 (i) 大的数的对应位置上多了一个 1。

  • 我们现在对 (B) 也进行一次 (bitset) 操作，那么如果 (A[i]) 值在 ([B[j],B[j+1]))之间( (B) 排序后) ，那么可以求出 (S_i = S_j^‘)

  • 那么现在要求 (S_i) 只需要二分找到 (A[i]) 在 (B) 中的位置即可。

  • 在解决了 (S_i) 后要考虑如何得到答案，我们发现 (S_i) 和 (S_{i-1}) 相比，只需要将 (S_{i-1}) 右移一位再进行 与 操作，就能把两者相联系起来，那么我们只要维护一个从起始开始的 与 的和 (ans)，如果 (ans[0] = 1) 那么就对答案有贡献。

  • 注意要先处理好 (A) 中前 (m-1) 项，而且在 (ans) 的每次右移过程中需要将 (ans[m-1]) 赋值为 1。不然会影响到之后的判断。

• 代码

  • #include <bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    typedef pair<int,int> pii;
    const int Maxb = 10;
    const int Maxa = 2e5+10;
    const int Inf = 0x7f7f7f7f;
    const int Mod = 1e9+7;
    
    vector<pii> v;
    int a[Maxa],b[Maxb];
    bitset<Maxb> Bit[Maxb];
    
    int main(){
        int n,m;
        scanf("%d %d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",a+i);
        v.push_back(make_pair(0,0));
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d",b+i);
            v.push_back(make_pair(b[i],i));
        }
        sort(v.begin(),v.end());
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            Bit[i] = Bit[i-1];
            Bit[i].set(m - v[i].second,1);
        }
        bitset<Maxb> ans;
        for(int i=1;i<m;i++)
        {
            pii cnt;
            cnt = make_pair(a[i],m+1);
            int t = lower_bound(v.begin(),v.end(),cnt) - v.begin() - 1;
            ans >>= 1;
            ans.set(m-1,1);
            ans &= Bit[t];
        }
        int Ans = 0;
        for(int i=m;i<=n;i++)
        {
            pii cnt;
            cnt = make_pair(a[i],m+1);
            int t = lower_bound(v.begin(),v.end(),cnt) - v.begin() - 1;
            ans >>= 1;
            ans.set(m-1,1);
            ans &= Bit[t];
            Ans += ans[0];
        }
        cout<<Ans<<endl;
        return 0;
    }