高数（下）六类积分

1.二重积分(PDF P150)

几何意义：曲顶柱体的体积、平面薄片的质量∫∫_Dμ(x,y) dxdy, μ为密度

形式：∫∫_Df(x,y) dxdy， dxdy为面积元素

计算方法：交换积分次序简化、利用对称性、换元法（dxdy -> Jdudv）

　　　　　　极坐标代换（dxdy -> rdr) {x=rcosθ,y=rsinθ}

2.三重积分（P167）

几何意义：物体的质量 ∫∫∫_Ω f(x,y,z)dv, f为密度

形式： ∫∫∫_Ω f(x,y,z)dv= ∫∫∫_Ω f(x,y,z)dxdydz , dv为体积元素，Ω为空间中有界闭区域 

计算方法：投影法，截面法，对称性（积分区域对称性，轮换对称性）

　　　　　柱面坐标代换（dxdydz -> rdrdθdz）{x=rcosθ,y=rsinθ,z=z}

　　　　　球面坐标代换（dxdydz -> r²sinφdrdθdφ）{x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ}  (0≤θ≤2π，0≤φ≤π)

重积分的应用（P180）

1.几何应用： 平面区域的面积、曲面面积、曲顶柱体的体积

2.物理应用：质心、转动惯量、引力

空间曲面的曲面面积：S=∫∫_D√（1+z_x²+z_y²）dxdy

质心：x_c=∫∫_D x*μ(x,y) dσ /  ∫∫_Dμ(x,y) dσ  , y_c=∫∫_D y*μ(x,y) dσ /  ∫∫_Dμ(x,y) dσ

转动惯量： 对x轴的转动惯量 I_x= ∫∫_D y²*μ(x,y) dσ, 对y轴的转动惯量  I_y= ∫∫_D x²*μ(x,y) dσ

空间立体对单位质量的质点的引力：F_x = G ∫∫∫_Ω ρ(x,y,z)x / r³ dV,  F_y = G ∫∫∫_Ω ρ(x,y,z)y / r³ dV, F_z = G ∫∫∫_Ω ρ(x,y,z)z/ r³ dV

3.第一型曲线积分（P194）

几何意义：曲线的质量 m = ∫_L μ(x,y)dS

形式： ∫_L f(x,y)dS

计算方法：用参数方程  

4.第一型曲面积分（P224）

几何意义： 曲面的面积，m = ∫∫_S μ(x,y,z) dS, dS曲面微元

形式：∫∫_Σf(x,y,z)dS

计算方法：1.曲面投影到平面，2.被积函数三元变两元，3. 曲面微元变为曲面面积

 

5.第二型曲线积分（P200)

几何意义：变力沿曲线所做的功

形式：∫_L Pdx+Qdy  (有方向)

计算方法：平面封闭曲线上用格林公式，

　　　　　当P_x=Q_y，与积分路径无关，选取折线路径计算

6.第二型曲面积分(P229)

几何意义：流向曲面一侧的流量

形式：∫∫_ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy = ∫∫_Σ (Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS 

计算方法：合一投影法、分面投影法、高斯公式