树的重心（树形DP）

树的重心定义

对于一棵无根树，任选一个点为根节点，以根节点为分界，得到若干个子树，具有结点数最多的子树就是最大子树。以每个点为根节点，最大子树中结点数最小的那个根节点就是树的重心。（百度定义：树的重心也叫树的质心。找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心）
或者树的重心还可以定义为：去掉该结点后，树的各个连通分支中含有的结点最小。

以下图为例：

以1当作根节点，其所有子树的结点数为3，3，2。1的最大子树就是3。
1就是树的重心，因为以其他点为根节点时，最大子树的结点数都会超过3
如以2为根节点，最大子树为{1，2，4，7，8，9}

输入输出
输入：第一行一个整数n，表示树的结点个数。
接下来n-1行，每行两个数i，j。表示i和j有边相连。
输出：第一行一个整数k，表示重心的个数。
接下来K行，每行一个整数，表示重心。按从小到大的顺序给出。

思路

任选一个结点作为根节点，用DFS进行遍历，求出所有结点的子树大小（大小就是子树所含的结点数），所有结点还有一个到根节点的子树，大小为总结点数-当前结点所含所有子树的大小。求出每个结点最大子树的结点数，再求最小值。

int sz[N],mx[N];	//sz[i]是以i为根节点的子树大小，mx[i]是以i为根节点的子树的最大子树大小
void dfs(int u,int pre){
	sz[u] = 1;	//自己也要算进去
	mx[u] = 0;
	for(int i = head[u];i;i = nxt[i]){
		int v = ver[i];
		if(v == pre) continue;
		dfs(v,u);
		sz[u] += sz[v];	//dfs搜索完v之后，更新sz[u]
		mx[u] = max(mx[u],sz[v]);	//更新最大子树的大小
	}
	mx[u] = max(mx[u], n-sz[u]);	//还要与到根节点那颗子树的大小比较
}

树的重心的性质

1. 一棵树最少有一个重心，最多有两个重心，若有两个重心，则它们相邻（即连有直接边）。
2. 树上所有点到某个点的距离和里，到重心的距离和最小；若有两个重心，则其距离和相同。
3. 若以重心为根，则所有子树的大小都不超过整棵树的一半。否则可以通过平移使得最大子树的大小缩小至整树的一半，剩下子树的大小最大为 n/2−1 。此时新平移到的点才是真正的重心。
4. 在一棵树上添加或删除一个叶子节点，其重心最多平移一条边的距离。
5. 两棵树通过连一条边组合成新树，则新树重心在原来两棵树的重心的连线上。

解题

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;
int tot;
int head[N],ver[N],nxt[N];	//邻接表建树需要的数组 
int sz[N],mx[N];	//sz是以i为根节点的子树的大小，mx是每个点的最大子树大小 

void addedge(int u,int v){	//邻接表建树过程 
	tot++;
	nxt[tot] = head[u];
	ver[tot] = v;
	head[u] = tot;
}
int n, minn = 1e8;
void dfs(int u,int pre){
	sz[u] = 1;	//自己也要算进去
	mx[u] = 0;
	for(int i = head[u];i;i = nxt[i]){
		int v = ver[i];
		if(v == pre) continue;
		dfs(v,u);
		sz[u] += sz[v];	//dfs搜索完v之后，更新sz[u]
		mx[u] = max(mx[u],sz[v]);	//更新最大子树的大小
	}
	mx[u] = max(mx[u], n-sz[u]);	//还要与到根节点那颗子树的大小比较
	if(mx[u] < minn)  minn = mx[u];
}

int main()
{
    int u,v;
    cin >> n;
    for(int i = 1;i <= n-1;i++){	//建立边 
    	cin >> u >> v;
    	addedge(u,v);
	}
	dfs(1,0);	//进行dfs遍历 
	int len=0,p[2];
	for(int i = 1;i <= n;i++){	//寻找树的重心 
		if(mx[i] == minn)
			p[len++] = i;
	}
	cout << len << endl;	//输出 
	for(int i = 0;i < len;i++){
		cout << p[i] << endl;
	}
}