Shor 量子算法原理浅析

学习这个算法时候网上介绍不多，只能硬啃论文；本片文章是对Shor算法原理的一个简单描述，以及它用于解决什么样的问题，其实最关键的部分（关于QFT 量子傅里叶变换的内容）我并不理解，但这并不影响我们以数论的现有知识来学习理解这个算法。

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 背景

众所周知，RSA体制的安全性是建立在大数分解这一难题基础上的，严格说来，也只是涉及到两个大质数相乘所得到的合数。自RSA 诞生伊始，人们对其安全性的理论论证就一直未停止过。由于 RSA 中指数运算保持了输入的乘积结构，这一点令人甚为担忧。

1994年，AT&T公司研究人员Shor发现了分解两个大质因数相乘合数的量子算法（质数就是素数），对RSA公钥密码体制产生强烈冲击；它不仅给量子计算机研究注入了活力，引发了量子计算和量子计算机研究的热潮。

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 原理

         设n₁、n₂为两个奇质数（大于2的素数），而N = n₁·n₂，Shor算法概述如下：

（1）随机取正整数y，要求y<N且与N互素，用量子计算机和相关算法求r = ord_N(y)，即y是关于N的阶数，r是使得y^r Ξ 1 mod N成立的最小正整数( 也就是说，函数f(t) = y^t mod N的最小正周期为r)。

（2）若r为奇数，则返回（1）重新取y。并重新求r，直到r为偶数为止。

（3）r为偶数，取  x Ξ  y^r/2 mod N。

　　　　　　   故  x² Ξ  1  mod N

　　　　　　(x+1)(x-1) Ξ  0  mod N

　　 于是设 (x+1)(x-1) = t·N = t·n₁·n₂ ，t为正整数，t不一定为素数，假设可继续分解为t = r·s，r、s为大于等于1的正整数。

　　      　　(x+1)(x-1)  =  (r·n₁)·(s·n₂) 这是等式

　　 于是上式有两个解：

　　　1.　x₁+1 Ξ 0 mod n₁ ，x₁-1  Ξ 0 mod n₂     解为 n₁ = gcd(x+1,N) ， n₂ =  gcd(x-1,N)

　　　2.    x₂+1 Ξ 0 mod n₂ ，x₂-1  Ξ 0 mod n₁    解为 n₁ = gcd(x-1,N)  ， n₂ =  gcd(x+1,N)

　　  接下来使用辗转相除法分别求出x+1和N的最大公约数、x-1和N的最大公约数分别为n₁和n₂。

　　  综上，已知N，选取随机数y<N且互素，最重要的一步是求y关于N的阶r，要求r为偶数。进而由r计算出x：  x Ξ  y^r/2 mod N 。最后求x+1、x-1和N的最大公约数分别为n₁、n₂ 。　　

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 评价

　　  Shor算法的核心是利用数论的一些定理，将大数因子分解过程转化为求某个函数的周期，由于在量子环境下，可以以极高的效率实现量子傅里叶变换（QFT），从而可以对大数质因子进行分解。

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参考　

1. 量子Shor算法与RSA体制的安全性_曹正军

2. SHOR量子算法的原理与程序模拟_朱缨