百万富翁问题的介绍与实现

参考自

1. https://zhuanlan.zhihu.com/p/65564614
2. https://www.jianshu.com/p/5a220e95cee2
3. YAO A C.Protocols for secure computation[C].In Proc. of the 23rd Annual Symposium on Foundations of Computer Science,1982.
   4.《联邦学习》杨强 刘洋等

安全多方计算

安全多方计算最初是针对一个安全两方计算问题，即所谓的“百万富翁问题”而被提出的，并与1982年被姚期智提出和推广。在安全多方计算中，目的是协同地从每一方的隐私输入中计算函数的结果，而不用将这些输入展示给其他方。

通常情况下，安全多方计算能够通过三种不同的框架来实现：不经意间传输（Oblivious Transfer，OT）、秘密共享（Secret Share，SS）和阈值同态加密（Threshold Homomorphic Encryption,THE）.从某种程度上来讲，不经意传输协议和阈值同态加密方法都是用了秘密共享的思想，这可能就是为什么秘密共享被广泛认为是安全多方计算的核心。

百万富翁问题

两个富翁，分别为Alice和Bob。他们自己都清楚自己有几百万财产，也即，他们心里清楚 1～10中的一个数（代表自己百万级的财富）；他们想知道到底谁的数更大一些。

这里假定：
· 两人都值得信任，不会作假
· 两人都希望诚实地比较出谁更服务（即谁的数更大）
· 两人又都希望知道对方财产到底是多少，如果可能的话，拿到具体数字最好了
· 其实这里假定的是一个安全多方计算的模型 - 半诚实对手模型，即计算方存在获取其他计算方原始数据的需求，但仍然按照计算协议执行。另外有恶意敌手模型，在这种模型中，参与方可以造假，即不按照计算协议执行计算过程。这就要复杂很多。为简化期间，本文仅讨论半诚实对手模型。

不经意传输的解决方案

一个简单的解决方案就是一下步骤：

1. Alice找10个一模一样的箱子，按照1～10的顺序摆好，并按照自己的财富值分别往里面放入苹果梨和香蕉，具体放法为：如果序号小于自己的财富之，放入苹果，相等，则放入梨，大于自己的财富值，放入香蕉；把10个盒子都叫上锁；
2. 并叫Bob过来（或者寄给Bob）Bob根据自己的财富值对相应的箱子再加一把锁。然后把其他所有箱子销毁。并把这个选择的箱子送给Alice。
3. Alice看到送回来的箱子，但他不知道Bob选择的是第几个箱子，因为每个箱子都是一样的。
4. Alice、Bob分别开锁，看里面是什么水果：
   · 如果是苹果，Alice比Bob富有；
   · 如果是梨，两人一样有钱
   · 如果是香蕉，Bob比Alice富有
   简单吧，可行吗？当然可行！前提是双方都是可信的，双方会遵守协议，所以这是一个半诚实对手模型。如果有一方造假，那么结果就不可信了。那是恶意敌手模型要讨论的问题。

密码学的解决方案

编程实现一下！

参考的知乎上君莫惘用户的代码（程序使用的是RSA公钥加密算法），进行了部分修改，主要是随机数x和p的选取要符合规范，并且满足p<x,x<N (N是RSA中的大质数，N=p*q)。

#coding=utf-8

import math
import random

# 百万富翁问题实现
# 自己生成公钥私钥并解密加密
# 算法无安全性

# 获取小于等于指定数的素数数组
def get_prime_arr(max):
    prime_array = []
    for i in range(2, max):
        if is_prime(i):
            prime_array.append(i)
    return prime_array


# 判断是否为素数
def is_prime(num):
    if num == 1:
        raise Exception('1既不是素数也不是合数')
    for i in range(2, math.floor(math.sqrt(num)) + 1):
        if num % i == 0:
            # print("当前数%s为非素数,其有因子%s" % (str(num), str(i)))
            return False
    return True


# 找出一个指定范围内与n互质的整数e
def find_pub_key(n, max_num):
    while True:
        # 这里是随机获取保证随机性
        e = random.randint(1, max_num)
        if gcd(e, n) == 1:
            break
    return e


# 求两个数的最大公约数
def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    else:
        return gcd(b, a % b)


# 根据e*d mod s = 1,找出d
def find_pri_key(e, s):
    for d in range(100000000):  # 随机太难找，就按顺序找到d,range里的数字随意
        x = (e * d) % s
        if x == 1:
            return d


# 生成公钥和私钥
def build_key():
    prime_arr = get_prime_arr(100)
    p = random.choice(prime_arr)
    # 保证p和q不为同一个数
    while True:
        q = random.choice(prime_arr)
        if p != q:
            break
    print("随机生成两个素数p和q. p=", p, " q=", q)
    n = p * q
    s = (p - 1) * (q - 1)
    e = find_pub_key(s, 100)
    print("根据e和(p-1)*(q-1)互质得到: e=", e)
    d = find_pri_key(e, s)
    print("根据 e*d 模 (p-1)*(q-1) 等于 1 得到 d=", d)
    print("公钥:   n=", n, "  e=", e)
    print("私钥:   n=", n, "  d=", d)
    return n, e, d


# 加密
def rsa_encrypt(content, ned):
    # 密文B = 明文A的e次方 模 n， ned为公钥
    # content就是明文A，ned【1】是e， ned【0】是n
    B = pow(content, ned[1]) % ned[0]
    return B


# 解密
def rsa_decrypt(encrypt_result, ned):
    # 明文C = 密文B的d次方 模 n， ned为私钥匙
    # encrypt_result就是密文, ned【1】是d, ned【0】是n
    C = pow(encrypt_result, ned[1]) % ned[0]
    return C


if __name__ == '__main__':
    pbvk = build_key()
    pbk = (pbvk[0], pbvk[1])  # 公钥 (n,e)
    pvk = (pbvk[0], pbvk[2])  # 私钥 (n,d)

    # 生成两个亿万富翁
    i = random.randint(1, 10)
    j = random.randint(1, 10)
    print("==============================================")
    print("Alice有i = %s亿,Bob有j = %s亿" % (i, j))

    x = random.randint(50, pbk[0]-1)  # assert(x < N) | N=p*q
    print("随机选取的大整数x: %s" % x)
    K = rsa_encrypt(x, pbk)
    print("大整数加密后得密文K: %s" % K)
    c = K - j
    print("Alice收到数字c: %s" % c)

    c_list = []
    for k in range(1, 11):
        t = rsa_decrypt(c + k, pvk)
        c_list.append(t)
    print("对c+1到c+10进行解密: %s" % c_list)


    # 选取合适大小的p,这里根据感觉写了100以内的随机数,生成的序列的值也要求小于100
    # 这个p是该算法的精华,在实际中选取p的策略要考虑到安全性和性能的因素
    d_list = []
    p = random.randint(30, x)  # assert(p<x)
    for k in range(0, 10):
        d_list.append(c_list[k] % p)
    print("p的值为: %s" % p)
    print("除以p后的余数为: %s" % d_list)

    d_list[i-1] += 1
    for k in range(i, 10):
        d_list[k] += 2
    print("前i-1位数字不动,第i位数字+1,后面数字+2后: %s" % d_list)
    print("第j个数字为: %s" % d_list[j - 1])
    print("x mod p为: %s" % (x % p))
    if d_list[j - 1] == x % p:
        print("i>j,即Alice比Bob有钱。")
        if i - j >= 0:
            print("验证成功")
        else:
            print("代码存在错误")
    elif d_list[j - 1] == (x%p)+1:
        print("i=j,即Alice和Bob一样有钱。")
    else:
        print("i<j,即Bob比Alice有钱")
        if i - j < 0:
            print("验证成功")
        else:
            print("代码存在错误")

执行效果：