快速排序

 

快速排序的思想

同归并排序一样，快速排序也是将要排序的数组一分为二，但是与快速排序不同的是，归并排序不考虑任何条件直接将数组一分为二，之后再利用归并过程排序，而快速排序首先从将要排序的数组中选择一个元素，以这个元素为基准，如图所示

这里是选择的数组首元素4，然后把4挪到它在排好序的数组中应该在的位置， 这样，4之前的元素都比4小，4之后的元素都比4大。之后对两部分的子数组继续使用快速排序的思路进行排序，依次递归下去，直到排好序。那么，我们的关键任务就是如何把选择的基准元素（这里是首元素4）挪到正确的位置上，就是我们知道的partition方法。

partition 过程

《算法导论》中给出了选择数组首元素为基准元素的详细过程，这里，我们定义一些partition过程要使用到的变量，l是我们选择的基准元素v所在的位置，然后我们向右遍历我们的数组，将遍历过的元素分为两部分，小于v的元素部分和大于v的元素部分，这两部分的分界点，我们用j表示，而当前要考查的元素位置我们用i表示这样数组就变成了arr[l+1...j]<v 和 arr[j+1...i-1]>v 和待考察的部分，如何将要考查的元素划分到正确的集合（大于v还是小于v）呢

如果当前元素e大于v直接放入大于v的部分的后面一个位置即可，并同时将索引加1，数组就变成这样了，之后i++,考查下一个元素，如果，当前考查元素的e小于v,我们就需要把e放入橙色部分，我们首先想到的就是将两个位置交换，哪两个位置呢，因为j指向的是小于v的最后一个元素，肯定不能将j与i交换，交换的只能是j的下一个位置，它属于大于v的部分，交换之后，将i++,,就可以，直到所有元素都划分到正确的阵营，，

 v和arr[l+1...j]<v  以及 arr[j+1...i-1]>v ，然后将l位置和j位置交换即可，此时v就在正确的位置了，partition 代码如下

/ partition the arr,the index j is the base element's position
// return an the integer j,make arr[l...j-1]<arr[j] and
//  arr[j+1...r]>arr[j]
int partition(int arr[],int l,int r){
    int v = arr[l];
    int j = l;
    for(int i = j+1;j<=r;j++){
        if(arr[j]<v){
            j++;
            swap(arr[j],arr[i]);
        }
    }
    swap(arr[j],arr[l]);
    return j;
}

快速排序过程就是递归的调用partition过程

void __quick_sort(int arr[],int l,int r){
    while(l>=r)
        return;
    int p = partition(arr,l,r);
    __quick_sort(arr,l,p-1);
    __quick_sort(arr,p+1,r);
}

void qucik_sort(int arr[],int n){
    __quick_sort(arr,0,n-1);
}

 优化

Optimization 1

不同于归并排序每次划分子数组的时候是对半划分，快速排序的partition操作将待排序的数组根据基准元素分成两部分，当数据有序性比较强的时候，那么分出的左右子数组规模就会不一样大，，极端情况就是当数组完全有序的时候，就相当于一个链表了，这棵树的高度是N,这样总的时间复杂度就是O(N^2)级别的了，此时，我们可以选择选取基准元素的收获不是简单的选择数组首元素，而是希望选择大小处在中间的元素，这样这棵树就会相对平衡，但从算法处理上不是直接选择中间位置的元素，而是随机选择一个元素，从数学角度上可以证明这样的处理，快速排序的时间复杂度的期望是O(NlogN)的，我没有自己证明过，不过可以简单想一下，每一个被选择的概率都是1/N,我不执著于这个证明，我只是说一下，我认为这个期望是正确的。这样的处理只需要在原来方法上加上 swap(arr[rand()%(r-l+1)+l,arr[l]); 当然，当数据规模小的时候也可以像归并排序那样使用插入排序。

下面我们重点要说的是另一种优化方法，是通过划分方式的不同，就是partition方式的不同的优化。前面提到，引起退化是原因是数组的有序性强，从而树的不平衡使树的高度不再是log(N)的了，所以可以考虑partition的方式使得划分的树尽量平衡。回顾一下，上面的partition操作，如果当前考查元素小于v,就划分到橙色小于v的部分，也就是对于大于等于v的元素都划分到紫色的部分了，这就会造成树 的不平衡，如果，我们能让等于v的元素尽量平均的分布在两个部分，那这棵树就平衡了。如图所示

 那么久应该再增加一个索引跟踪大于v这部分下一个要考查的元素的位置，假如现在的状态就如上图所示，继续扫描，i++,当这个元素小于v的时候，继续向后扫描直到碰到了某个元素e大于等于v停止扫描，同样，右端从J向前扫描，如果是大于v，继续向前，直到遇到e是小于等于v的元素，停止扫描，整个关系如下图

对于小于和大于的两端的深绿色部分应分别并入橙色和紫色的部分，，对于i,j两个位置交换位置即可，此时橙色部分都是小于v的元素，紫色部分都是大于v的元素，继续扫描，i向后，j向前，直到i,j重合，数组遍历完毕，不过，这里需要注意，实际上橙色部分是小于等于v的，紫色部分是大于等于v的，

partition实现如下：

//return j, make arr[l...j-1] <arr[j],arr[j+1...r]?arr[j]
int partition2(int arr[],int l,int r){
    swap(arr[rand()%(r-l+1)+l,arr[l]]);
    int v = arr[l];
    int i = l+1,j = r;
    while(true){
        while(arr[i]<v && i<=r)
            i++;
        while(arr[j]>v && j>l)
            j--;
        if(i>j)
            break;
        swap(arr[i],arr[j]);
        i++;
        j--;
    }
    swap(arr[l],arr[j]);
    return j;
}

Optimization 2 三路快速排序

 根据名称就很容易想到三路快速排序的思想，之前，都是将整个数组分成两部分，等于v的部分和小于v的部分，显然，三路快速排序就是将整个数组分成三部分，大于v,等于v,小于v,如下图所示。其中lt指向小于v的最后一个元素，gt指向了第一个大于v的的元素，i依然是指向当前要考查的元素，这样就满足如下 arr[l+1...lt]>v; arr[gt...r]>v; arr[lt+1...i-1]==v ,然后就是如何处理当前要考查的arr[i],

 

当e==v: i++,e直接并入深绿色的等于v的部分，接着考查下一个元素，

当e<v:同之前处理两路快速排序同样的操作，只需要将e与等于v部分的第一个元素交换位置即可，然后lt++,即可，i++继续考查下一个元素

 当e>v时，相似的操作，只需要将v与gt前面的元素交换，然后gt--,此时e就是大于v部分的第一个元素，因为此时i指向的元素是原来gt-1指向的，还未考查，所以，此时不用跟新i

最后，所有元素考查完成后应该是，整个数组分成了<v,大于v,等于v三部分，lt指向了<v部分的最后一个元素，gt指向大于v部分的第一个元素，此时，i的位置就是gt的位置。显然，我们只需要将v与lt指向的元素交换，v就处在了正确的位置上，如下图。

，之后就是小于v 的部分和小于v的部分递归的partition操作，对于等于v的部分已经处在了正确的位置了。很明显，它的优势就是不需要对重复元素递归的partition操作，从而提高了效率。

由于三路快拍不是简单的返回一个索引j,然后对arr[l...j-1],arr[j+1...r]进行递归就好了，因为中间等于v的部分是一个集合（一段区间），不再是一个元素，不好再设计一个partition函数了，方便返回了，我们直接在quick_sort 中实现partition操作。实现如下

//three ways quick sort for arr
//divide the arr[l...r] to three parts <v,==v,>v
//recursion the <v-part and >v-part
__quick_sort3Ways(int arr[],int l,int r){
    if(r-l<15)
        insertion_sort(arr,l,r);
    //partition
    swap(arr[rand()%(r-l+1)+l],arr[l]);
    int v = arr[l];
    int lt = l+1; // arr[l...lt]<v
    int gt = r+1; //arr[gt...r]>v
    int i = l+1; // arr[lt+1...i)==v
    while(i<gt){
        if(arr[i]<v){
            swap(arr[i],arr[lt+1]);
            lt++;
            i++;
        }
        else if(arr[i]>v){
            swap(arr[gt-1],arr[i]);
            gt--;
        }
        else
            i++;
    }
    swap(arr[l],arr[lt]);
    __quick_sort3Ways(arr,l,lt-1);
    __quick_sort3Ways(arr,gt,r);
}

qucik_sort3Ways(int arr[],int n){
    srand(time(NULL));
    __quick_sort3Ways(arr,0,n-1);
}

总结：

归并排序和快速排序都用到了分治（divide-and-conquer）算法的思想，顾名思义，分而治之，就是将原问题分解为相同结构的子问题，然后，逐一解决子问题的思想方法。归并排序和快速排序都是将原问题分解为两个子问题。不同的是，归并排序没有任何考虑直接将原问题一分为二，然后递归的归并排序，关键是，分完后，如何再归并起来，对于快速排序的关键点是如何分，我们的做法是选择一个参照元素，以参照元素为届划分，最后再将参照元素移动到正确的位置上。这样的分，我们就不用考虑合的问题，只需递归执行就可以了。