该系列为DR_CAN自动控制原理视频笔记，详见https://space.bilibili.com/230105574
由于笔者水平有限，文中难免存在一些不足和错误之处，诚请各位批评指正。
1 一个简单的例子
我们假设在一段高低起伏的曲线上的ABC三点分别放一个小球，我们可以发现在没有外界扰动的情况下这三个小球均可以保持静止。但当我们分别给三个小球一个扰动时，A点的小球就会滑落，B点小球则会不断地振荡但始终保持在B点周围，而C点小球由于曲面上的摩擦，最终会重新静止。这种情况用数学语言来描述即图片右侧部分，
其中A点状态称为不稳定（Unstable），B点称为临界稳定（Marginally stable），而C点称为稳定（Stable）。
如果我们对B小球的扰动不大，就可以让它始终保持在B点周围。即系统的输入有界，进而系统的输出也有界，这就是BIBO（Bounded-Input Bounded-Output）稳定。
2 分析传递函数
在研究系统稳定性时，一般以单位冲激函数 (delta(t)) 作为输入，就相当于刚才例子中的扰动，而单位冲激函数经过拉普拉斯变换后的值为1，这时系统的输出就等于传递函数本身，这就是为什么常用传递函数本身来分析稳定性。其中 (G(s)) 为系统开环传递函数，(G(s)_{cl}) 为系统闭环传递函数，cl即close loop。
对于单位冲激函数 (delta(t)) 可参考DR_CAN的一期视频：https://www.bilibili.com/video/av26448770
一个传递函数可以抽象成以下形式，令分子等于0的点为系统的零点，而令分母等于0的点是系统的极点，通过分析系统极点的位置，我们就可以了解系统的稳定性。
3 另两个简单的例子
对于一个传递函数（或者说系统的输出，因为在单位冲激下两者相等），我们可以通过因式分解将其拆成基本形式的线性组合，然后对其进行拉普拉斯逆变换可以得到系统输出的时域表达。在这个例子中系统的两个极点分别是-3与2，在时域表达中便是指数函数中时间 (t) 前面的系数。
不难发现随着时间 (t) 趋于正无穷，系统的输出也趋于无穷，因此这是一个不稳定的系统。更具体一点，是2这个极点导致了系统的不稳定，因为 (e^{-3t}) 会在时间 (t) 趋于正无穷时趋于0，而 (e^{2t}) 则为正无穷。
另一个例子，系统的两个基点是共轭复数，通过欧拉公式对于系统输出的时域表达进行化简，可以得到一个振荡的形式。注意到正弦函数系数为 (e^{-t}) ，即时间 (t) 前的系数为-1，因此系统输出将随着时间 (t) 趋于正无穷，振荡着收敛到0，因此这是一个稳定的系统。
在这种形式下，与上一个例子的规律相同，时间 (t) 前的系数分别为- + 0时，系统的输出会形如以下图像。注意到当系数为0时指数函数的值为1，系统便会保持稳定的震荡。
系统的极点画在复平面上，有这么几种情况：
稳定：
- 红色极点实部＜0，系统会平滑收敛，
- 褐色极点共轭并且实部＜0，系统会振荡收敛
临界稳定：
- 黄色极点共轭并且实部 = 0，系统会无休止的振荡
不稳定：
- 绿色极点共轭并且实部＞0，系统会振荡趋于无穷
- 蓝色极点实部＞0，系统会平滑趋于无穷
4 总结
有了以上的结论，我们就可以理解经典控制的核心设计思路，即通过设计控制器D，将系统闭环传递函数的零点设计到虚轴左侧，进而让系统达到稳定，这个过程就叫做极点配置。另外的，在现代控制理论中，通过研究状态矩阵的特征值进而分析系统稳定性，特征值便相当于系统的极点。
