NYOJ 1091 超大01背包(折半枚举)

这道题乍一看是普通的01背包，最最基础的，但是仔细一看数据，发现普通的根本没法做，仔细观察数组发现n比较小，利用这个特点将它划分为前半部分和后半部分这样就好了，当时在网上找题解，找不到，后来在挑战程序设计上找到了这个题，就拿来引用一下

挑选物品的方法总从2^n中，直接枚举肯定不行，因为n最大为40，但是如果n为20就可以了，这时候就要用到折半枚举，先枚举前一半，在枚举后一半。先把前把部分的选取方法对应的重量和价值总和记为w1, v1,这样后半部分寻找w2 <= W - w1时 使v2最大的选取方法就好了。

因此，我们要思考从枚举得到的(w2, v2)的集合中高效寻找max{v2|w2<=W'}的方法。首先，显然我们可以排除所有w2[i] <= w2[j]并且v2[i] >= v2[j] 的 j。 这一点可以按照w2,v2的字典序排列后做到。此后剩余的元素都满足w2[i] < w2[j] , v2[i] < v2[j], 要计算max{v2|w2<=W'}的话，只要寻找满足w2[i]<=W'的最大的i就可以了。这可以利用二分搜索完成。剩余的元素个数为M的话，一次搜索要用log(M)的时间，可以解决

代码如下：

方法一(折半枚举):

 
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#define Max(a,b) a>b?a:b
#define INF 10000000000000000
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAX = 40;
LL weight[MAX], value[MAX];
LL W;
pair<LL, LL> ps[1 << (MAX / 2)];
int n;
void slove()
{
    //枚举前半部分 
    int n2 = n / 2;
    for (int i = 0; i < 1 << n2; i++)//前半部分的枚举总数为 2^(n/2); 
    {
        LL sw = 0, sv = 0;
        //每种结果选取特定的价值和重量(i.e 一共2个东西，就一共四种情况，都不选，选第一个，选第二个，都选) 
        for (int j = 0; j < n2; j++)
        {
            if (i >> j & 1)
            {
                sw += weight[j];
                sv += value[j];
            }
        }
        ps[i] = make_pair(sw, sv);//加入到ps数组中 
    }
    //对ps排序 
    sort(ps, ps + (1 << n2));
    //ps 去重 
    int m = 1;
    for (int i = 1; i < 1 << n2; i++)
        if (ps[m - 1].second < ps[i].second)
            ps[m++] = ps[i];
    LL res = 0;//保存结果 
    //枚举后半部分， 并且找到最优解 
    for (int i = 0; i < 1 << (n - n2); i++)//同样枚举的总个数 
    {
        LL sw = 0, sv = 0;
        for (int j = 0; j < n - n2; j++)//和前半部分的一样 
        {
            if (i >> j & 1)
            {
                sw += weight[n2 + j];
                sv += value[n2 + j];
            }
        }
        if (sw <= W)//加个判断求解最大价值，只有小于背包容量的时候 
        {
            LL tv = (lower_bound(ps, ps + m, make_pair(W - sw, INF)) - 1)->second;//找到前半部分对应的value 
            res = Max(res, sv + tv); 
        }
    }
    printf("%lld
", res);
}

int main()
{
    while (~scanf("%d %lld", &n, &W))
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            scanf("%lld %lld", &weight[i], &value[i]);
        slove();
    }
    return 0;
}
        

这个题也可以用搜做来做，搜索反而来的更快，因为n比较小

方法二(搜索):

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define Max(a, b) a > b ? a : b
const int MAX = 45;
long long weight[MAX], value[MAX], sw[MAX], sv[MAX];
long long W, n, ans;
//i表示当前取到第n-i个，cnt 表示当前的总value， w当前背包剩余的空间 
void dfs(int i, long long cnt, long long w)
{
    if (i == 0)//取到最后 
    {
        ans = Max(ans, cnt);
        return;
    }
    if (w == 0 || cnt + sv[i] < ans)//背包满或者当前总的加上这个前i个的总价值小于当前的总value，这步是剪枝 
        return ;
    if (w >= sw[i])//因为是从上往下找的，所以只要当前容量能装下前i个的和，所以这时一定是最大的 
    {
        cnt += sv[i];
        ans = Max(ans, cnt);
        w = 0;
        return ; 
    }
    if (w > weight[i])//深搜两种状态 
        dfs(i - 1, cnt + value[i], w - weight[i]);//相当于01背包中的两种状态 
    dfs(i - 1, cnt, w);
} 
int main()
{
    while (~scanf("%d %lld", &n, &W))
    {
        memset(sw, 0, sizeof(weight));
        memset(sv, 0, sizeof(value));
        ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            scanf("%lld %lld", &weight[i], &value[i]);
            sw[i] = sw[i - 1] + weight[i];
            sv[i] = sv[i - 1] + value[i];
        }
        dfs(n, 0, W);
        printf("%lld
", ans);
    }
    
    return 0;
}