X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0! 其中，a[i]为整数，并且X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0!。这就是康托展开。 ------来自百度百科
上面这句话说了感觉一头雾水，没有任何条件只是给一个式子谁也看不懂那是什么，所以还需要来解释一下。上面的式子可以在求给定一个全排列，求在整个全排列序列中的第几个。
例如：{1,2,3}按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。如果想知道 3 2 1 在这个排列序列中数第几位这时候需要用到康拓展开了。
第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!是康托展开。
再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。
康拓展开代码：
1 //s[] 表示输入进来的那个序列， n表示总共多少个元素 2 int cantor(int s[], int n) 3 { 4 5 int ans = 0; 6 int tmp; 7 8 for (int i = 0; i < n - 1; i++) 9 { 10 tmp = 0; 11 //统计多少个比它小的 12 for (int j = i + 1; j < n; j++) 13 if (s[j] < s[i]) 14 tmp++; 15 ans += tmp * fac[n - i - 1]; 16 } 17 return ans; 18 19 }
另外为了熟悉一下这个康拓展开，还是在OJ上测试一下，题目链接http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=139
另外这个题目的AC代码
1 #include<iostream> 2 #include <cstdio> 3 using namespace std; 4 5 typedef long long LL; 6 LL fac[13]; 7 const int n = 12; 8 LL cantor(int *arr) 9 { 10 LL ans = 0; 11 for (int i = 0; i < n - 1; i++) 12 { 13 int tmp = 0; 14 for (int j = i + 1; j < n; j++) 15 if (arr[j] < arr[i]) 16 tmp++; 17 ans += tmp * fac[n - i - 1]; 18 } 19 return ans; 20 } 21 int main() 22 { 23 24 fac[0] = fac[1] = 1; 25 for (int i = 2; i <= 12; i++) 26 fac[i] = fac[i - 1] * i; 27 char ch[13]; 28 int arr[13]; 29 int n; 30 cin >> n; 31 while (n--) 32 { 33 scanf("%s", ch); 34 for (int i = 0; i < 12; i++) 35 arr[i] = ch[i] - 'a' + 1; 36 cout << cantor(arr) + 1 << endl; 37 } 38 return 0; 39 }
康拓展开逆运算：还是同样的序列，给定一个数m，让求第m大的序列
{1,2,3,4,5}的全排列，并且已经从小到大排序完毕，请找出第96个数：
首先用96-1得到95
1 //index表示给定的第几个数，结果序列保存在ans数组 2 void cantor_reverse(int index, int n, int *ans) 3 { 4 index--; 5 bool vis[10];//标记 6 memset(vis, false, sizeof(vis)); 7 for (int i = 0; i < n; i++) 8 { 9 int tmp = index /fac[n - i - 1]; 10 for (int j = 0; j <= tmp; j++) 11 if (vis[j]) 12 tmp++; 13 ans[i] = tmp + 1; 14 vis[tmp] = true; 15 index %= fac[n - i - 1]; 16 } 17 }
OJ题目链接：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=143
AC代码：
1 #include<iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 using namespace std; 5 6 typedef long long LL; 7 LL fac[13]; 8 void cantor_reverse(LL index, int *ans) 9 { 10 index--; 11 LL tmp; 12 bool vis[13]; 13 memset(vis, false, sizeof(vis)); 14 for (int i = 0; i < 12; i++) 15 { 16 tmp = index / fac[12 - i - 1]; 17 for (int j = 0; j <= tmp; j++) 18 if (vis[j]) 19 tmp++; 20 ans[i] = (int)tmp + 1; 21 vis[tmp] = true; 22 index %= fac[12 - i - 1]; 23 } 24 } 25 int main() 26 { 27 fac[0] = fac[1] = 1; 28 for (int i = 2; i < 13; i++) 29 fac[i] = fac[i- 1] * i; 30 int n; 31 LL m; 32 cin >> n; 33 while (n--) 34 { 35 cin >> m; 36 int ans[13]; 37 cantor_reverse(m, ans); 38 for (int i = 0; i < 12; i++) 39 printf("%c", ans[i] + 'a' - 1); 40 puts(""); 41 } 42 43 return 0; 44 }