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  • POJ 1986(LCA and RMQ)

    题意:给定一棵树,求任意两点之间的距离。

    思路:由于树的特殊性,所以任意两点之间的路径是唯一的。u到v的距离等于dis(u) + dis(v) - 2 * dis(lca(u, v)); 其中dis(u)表示u到根节点的距离。

    RMQ求LCA,过程如下,摘自http://dongxicheng.org/structure/lca-rmq/

    在线算法DFS+ST描述(思想是:将树看成一个无向图,u和v的公共祖先一定在u与v之间的最短路径上):

    (1)DFS:从树T的根开始,进行深度优先遍历(将树T看成一个无向图),并记录下每次到达的顶点。第一个的结点是root(T),每经过一条边都记录它的端点。由于每条边恰好经过2次,因此一共记录了2n-1个结点,用E[1, ... , 2n-1]来表示。

    (2)计算R:用R[i]表示E数组中第一个值为i的元素下标,即如果R[u] < R[v]时,DFS访问的顺序是E[R[u], R[u]+1, …, R[v]]。虽然其中包含u的后代,但深度最小的还是u与v的公共祖先。

    (3)RMQ:当R[u] ≥ R[v]时,LCA[T, u, v] = RMQ(L, R[v], R[u]);否则LCA[T, u, v] = RMQ(L, R[u], R[v]),计算RMQ。

    由于RMQ中使用的ST算法是在线算法,所以这个算法也是在线算法。

    代码如下(LCA模板):

    //LCA algorithm templet
    #include <cstdio>
    #include <iostream>
    #include <cstring>
    #include <cmath>
    #include <cstdlib>
    #include <algorithm>
    
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int maxn = 40010;
    int tot, head[maxn];
    struct Edge {
        int to, next;
        int w;
    }edge[maxn<<1];//edge
    int Euler[maxn<<1];//Euler sequence
    int R[maxn];//the R one visit 
    int dep[maxn<<1];//depth
    int dis[maxn<<1];//dis[i] represent the distance between i and root 
    
    int cnt;//the counter
    void init()
    {
        tot = 0;
        cnt = 0;
        memset(head, -1, sizeof(head));
        memset(R, 0, sizeof(R));
        memset(dis, 0, sizeof(dis));
    }
    void addedge(int u, int v, int w)
    {
        edge[tot].to = v;
        edge[tot].w = w;
        edge[tot].next = head[u];
        head[u] = tot++;
    }
    void dfs(int u, int fa, int depth, int dist)
    {
        Euler[++cnt] = u;
        dis[cnt] = dist;
        dep[cnt] = depth;
        R[u] = cnt;
        for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
        {
            int v = edge[i].to;
            if (v == fa) continue;
            dfs(v, u, depth + 1, dist + edge[i].w);
            Euler[++cnt] = u;
            dis[cnt] = dist;
            dep[cnt] = depth;
        }
    }
    int Rmin[maxn * 2][32];//Rmin represent the number(order number) of node
    void RMQ(int n)
    {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            Rmin[i][0] = i;//initalization
        int k = (int)log2(n);
        for (int j = 1; j <= k; j++)
        {
            for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)//按照dep来找最小值
                Rmin[i][j] = dep[Rmin[i][j - 1]] < dep[Rmin[i + (1 << (j - 1))][j - 1]] ? Rmin[i][j - 1] : Rmin[i + (1 << (j - 1))][j - 1];
        }
    }
    //找到u和v的距离
    int query(int u, int v)
    {
        int l = R[u], r = R[v];
        if (l > r) swap(l, r);
        int k = (int)log2(r - l + 1);
        int tmp = dep[Rmin[l][k]] < dep[Rmin[r - (1 << k) + 1][k]] ? Rmin[l][k] : Rmin[r - (1 << k) + 1][k];
        //return Euler[tmp];//这里是返回u和v的公共祖先
        return dis[l] + dis[r] - 2 * dis[tmp];//这里返回距离
    }
    int main()
    {
        int n, tmp;
        while (~scanf("%d %d", &n, &tmp))
        {
            init();
            int u, v, w;
            for (int i = 1; i < n; i++)
            {
                scanf("%d %d %d %*s", &u, &v, &w);
                addedge(u, v, w);
                addedge(v, u, w);
            }
            dfs(1, 0, 1, 0);
            RMQ(cnt);
            int Q;
            scanf("%d", &Q);
            while (Q--)
            {
                scanf("%d %d", &u, &v);
                printf("%d
    ", query(u, v));
            }
        }
        return 0;
    }
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