剑指Offer_#33_二叉搜索树的后续遍历

剑指Offer_#33_二叉搜索树的后续遍历

剑指offer

Contents

• • • 题目
    • 思路分析
      • 二叉搜索树（二叉查找树）
      • 思路
      • 算法流程
    • 解答

题目

输入一个整数数组，判断该数组是不是某二叉搜索树的后序遍历结果。如果是则返回 true，否则返回 false。假设输入的数组的任意两个数字都互不相同。

参考以下这颗二叉搜索树：

     5
    / 
   2   6
  / 
 1   3

示例 1：

输入: [1,6,3,2,5]
输出: false

示例 2：

输入: [1,3,2,6,5]
输出: true

提示：
数组长度 <= 1000

思路分析

二叉搜索树（二叉查找树）

二叉查找树（BST：Binary Search Tree）是一种特殊的二叉树，它改善了二叉树节点查找的效率。二叉查找树有以下性质：
对于任意一个节点 n，

• 其左子树（left subtree）下的每个后代节点（descendant node）的值都小于节点 n 的值；
• 其右子树（right subtree）下的每个后代节点的值都大于节点 n 的值。

所谓节点 n 的子树，可以将其看作是以节点 n 为根节点的树。子树的所有节点都是节点 n 的后代，而子树的根则是节点 n 本身。
下图中展示了两个二叉树。二叉树（b）是一个二叉查找树（BST），它符合二叉查找树的性质规定。而二叉树（a），则不是二叉查找树。

更加详细的部分，参考二叉查找树 - sangmado - 博客园。

思路

• 后续遍历的顺序是左-右-根，即在每个子树的后续遍历序列当中，最后一个数字总是根节点的值，前面的一串数字，前半部分表示左子树，后半部分表示右子树。
• 根据BST的定义，左子树的每个节点的值都小于根节点的值，右子树的每个节点的值都大于根节点的值。我们可以据此找到后序遍历序列当中，左右子树的分界点，即：找到第一个比根节点的值大的数字，这个数就是右子树的第一个节点，它的左边的数字都是表示左子树，右边的数字都是表示右子树。
• BST的所有子树也都是BST。

根据以上几条，我们可以考虑使用递归的写法，递归判断每个节点的子树是否是BST,直到叶节点。

算法流程

辅助变量：start和end表示要判断的子树在后续遍历序列中的范围。

• 出口条件：start >= end,说明这个子树包含1个节点，或者没有节点，直接返回true。
• 递推过程：
  • 寻找左右子树的分界点：每次遇到比根节点小的值，向右移动指针pointer一次，直到遇到第一个大于根节点的值，这就是右子树的第一个节点的位置，将这个位置赋值给mid。
  • 从分界点遍历到根节点：从mid开始继续移动指针pointer,每次遇到比根节点大的值，向右移动指针pointer一次。
• 递归返回值
  • 根据最后pointer停留的位置判断，如果是BST的后序遍历序列，那么必然pointer指向序列的末尾，如果不是，返回false。
  • 判断左右子树是否是BST。返回二者的与。

解答

class Solution {
    public boolean verifyPostorder(int[] postorder) {
        return  recur(postorder,0,postorder.length - 1);
    }

    public boolean recur(int[] postorder,int start,int end){
        //当前子树只有一个节点（start == end） 或 当前子树是空树，一个节点都没有(start == end + 1)
        if(start >= end) return true;
        int pointer = start;
        while(postorder[pointer] < postorder[end]) pointer++;
        //右子树第一个节点
        int mid = pointer;
        while(postorder[pointer] > postorder[end]) pointer++;
        //如果是该子树是二叉搜索树，pointer一定指向最后一个节点
        if(pointer != end) return false;
        return recur(postorder,start,mid - 1) && recur(postorder,mid,end - 1);
    }
}