剑指Offer_#55 - II_平衡二叉树(LeetCode#110)
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题目
输入一棵二叉树的根节点，判断该树是不是平衡二叉树。如果某二叉树中任意节点的左右子树的深度相差不超过1，那么它就是一棵平衡二叉树。
示例 1:
给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7]
3
/
9 20
/
15 7
返回 true 。示例 2:
给定二叉树 [1,2,2,3,3,null,null,4,4]
1
/
2 2
/
3 3
/
4 4
返回 false 。限制：
1 <= 树的结点个数 <= 10000
思路分析
这一题是有两种方法，一种是普通的递归（自顶向下），另一种是分治法（提前阻断，自底向上）。说实话之前对于递归，分治分的不是很清楚，我感觉所谓的分治法写出来不还是递归吗？到底区别在哪里呢？通过对比这道题的两种解法，就能理解清楚了。
递归 vs 分治
联系： 分治算法往往使用递归的代码实现的。
区别： 但是分治和递归不是一个概念，分治是一种算法思想，递归是一种实现方法（即自己调用自己）。分治算法的代码往往具有提前阻断的特性。
解答
方法1：普通递归（自顶向下）
算法流程
类似前序遍历
- 先处理当前节点，即判断当前节点的左右子树高度差距是否不超过1。
- 这里又涉及到深度的计算，需要写一个辅助函数
depth()
- 这里又涉及到深度的计算，需要写一个辅助函数
- 然后处理左右子节点，分别判断左右子节点是否满足上述条件。
这个写法的问题在于depth()方法计算高度的时候会重复访问同一个节点。因为这是自顶向下的写法，所以无法利用子树的高度计算当前节点的高度。
解答1：普通递归（自顶向下）
class Solution {
//前序遍历递归：先判断当前节点是否平衡，然后判断左右子树是否平衡
public boolean isBalanced(TreeNode root) {
if(root == null) return true;
return Math.abs(depth(root.left) - depth(root.right)) <= 1 && isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right);
}
//辅助函数：计算每个子树的最大深度，也是一个递归函数
private int depth(TreeNode root){
if(root == null) return 0;
return Math.max(depth(root.left), depth(root.right)) + 1;
}
}复杂度分析
时间复杂度：O(nlogn),因为每次调用depth会带来O(logn)的复杂度
空间复杂度：O(n)
方法2：分治法（提前阻断，自底向上）
判断一棵树是否是平衡树，也是一个递归问题，因为需要递归地判断每个节点的左右子树深度是否相差不超过1，即需要判断每个节点是否是平衡的。
原问题与子问题结构相似，符合分治思想的特征，所以用分治法解决。
分治法模板
// 伪代码
public class Solution {
public ResultType traversal(TreeNode root) {
if (root == null) {
// do something and return
}
// Divide
ResultType left = traversal(root.left);
ResultType right = traversal(root.right);
// Conquer
ResultType result = Merge from left and right
return result;
}
}一般来说，
分治法代码会把递归调用的结果（也就是小问题的答案）保存到局部变量中，这个步骤叫做分（Divide）。
这里就可以解释什么叫做提前阻断，因为这里的递归调用
ResultType left = traversal(root.left);
ResultType right = traversal(root.right);会把代码阻塞在这个位置，直到满足终止条件，即遇到null,才会继续运行下面的代码。
接下来将利用保存下来的局部变量去解决更大的问题（上一层递归函数），这个步骤叫做治（Conquer）。
第一次进行治的过程是在最后一级递归调用，然后逐级回溯到第一级递归调用，这个过程是自底向上的。
特殊地，在本题当中的原问题和小问题又是什么？
- 原问题：整棵树是否是平衡二叉树？
- 小问题：根节点的左右子树是否是平衡二叉树？
根据这个思路就可以写出代码了。写出的代码依然是递归形式。
算法设计
根据问题的特点，我们采用后续遍历（更准确的说是分治法），先访问左右子树，再访问根节点，这样可以一边访问树的节点，一边判断当前的节点是否是平衡的。
递归函数isBalancedHelper返回值的含义：
- -1表示此节点不平衡，返回false
- 不是-1，则代表当前节点的深度，从叶节点开始，这个深度的返回值可以用于递推其父节点的深度，避免第二次遍历同一个节点。
解答2：分治法（提前阻断，自底向上）
class Solution {
public boolean isBalanced(TreeNode root) {
return isBalancedHelper(root) != -1;
}
private int isBalancedHelper(TreeNode root){
if(root == null) return 0;
int left = isBalancedHelper(root.left);
//如果left/right是-1，就不需要计算diff了，因为两个都是-1的时候，diff是0，可能就误判了
if(left == -1) return -1;
int right = isBalancedHelper(root.right);
if(right == -1) return -1;
int diff = Math.abs(left - right);
return diff <= 1 ? Math.max(left,right) + 1:-1;
}
}复杂度分析
时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)